烟台市2014届高三上学期期末考试数学（理）试题

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟；

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．

2．在递减等差数列
中，若
，则
取最大值时n等于

A．2　　　　　 B．3 　　　　　C．4　　　　D．2或3

3．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是

A．
　　　　　B．
　　　　C．
　　　　　D．

4．设
，则下列不等式成立的是

A．
B．
C．
D．

5．设m、n是不同的直线，
是不同的平面，有以下四个命题：

①．
②．

③．
④．
，其中正确的命题是

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

6．在
ABC中，若
、
的对边长分别为b、c，
，

，则

A．
B．
C．
D．
或

7．函数
的图像可能是

8．若点P(1,1)为圆
的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

A．
B．

C．
D．

9．若点P是函数
图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

10．已知直线l过抛物线
的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A、B到y轴的距离分别为m、n，则m+n+2的最小值为

A．
B．
C．4 D．6

11.如图，O为线段
外一点，若
中任意相邻两点的距离相等，
a，
b用a，b表示
其结果为

A．

B．

C．

D．

12.定义在R上的函数
，如果存在函数
(k,b为常数），使得
对一切实数x都成立，则称
为函数
的一个承托函数．现有如下命题：

①对给定的函数
，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．

②函数
为函数
的一个承托函数．

③定义域和值域都是R的函数
不存在承托函数．

其中正确命题的序号是：

A．①　　　　　B．②　　　　　C．①③　　　　D．②③

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分，请将正确答案填在答题七相应位置．

13．已知
，且
，则

14.若x，y满足约束条件
，则目标函数
的最大值是

15.列
，不等式
成立，则实数a的取值范围是

16．已知函数
R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为
，则a=

三、解答题．本大题共6个小题，共74分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数
．

(1)求
的最小正周期；

(2)若将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

18.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD中，
，
平面ABCD，
平面ABCD，

(1)求证：
平面BDE；

(2)求锐二面角
的大小．

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为Sn，对一切正整数n，点
在函数
的图像上，且过点
的切线的斜率为kn．

(1)求数列
的通项公式；

(2)若
，求数列
的前n项和Tn．

20.（本小题满分12分）

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足
(其中
，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

21.（本小题满分13分）

已知函数
．

(1)若曲线
在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值及函数
的单调区间；

(2)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数a的取值范围．

22．（本小题满分13分）

椭圆
与双曲线
有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线
于M、N两点，且
．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

数学（理）答案（阅卷）

一、选择题：DDBDC DBDBC BA

二、填空题：13.
14. 13 15.
16.

三、解答题：

17. 解：（1）

．

所以
的最小正周期为
．……………… 6分

（2）
将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，

．

时，
，

当
，即
时，
取得最大值2；………… 9分

当
，即
时，
取得最小值
．…………12分

18. （1）证明：连接
、
，设
，

∵
为菱形，∴
，以
为原点，
，
为
、
轴正向，
轴过
且平行于
，建立空间直角坐标系（图1），………… 2分

则
，

，
，………4分

∴
，
，∴
，
，

又
，∴
⊥平面
.………6分

（2）由知（1）
是平面
的一个法向量，

设

是平面
的一个法向量，

,由

,

得：
，……… 8分

取
，得
，于是

<
,
>

………10分

但二面角
—
—
为锐二面角，

故其大小为
. …………12分

19.解：（1）
点
都在函数
的图像上，

．……………… 2分

当
时，

当
时，
满足上式，

所以数列
的通项公式为
……………… 6分

（2）由
求导可得
，

因为过点
的切线的斜率为
，
，

，

两式相减得

………9分

．……………………… 12分

20.解：（1）由题意知，
，

将
代入化简得：

（
）. …………… 6分

（2）
，

当且仅当
时，上式取等号. …………… 9分

当
时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当
时,
在
上单调递增,

所以
时,函数有最大值．即促销费用投入
万元时，厂家的利润最大 .

综上,当
时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;

当
时, 促销费用投入
万元，厂家的利润最大 .…… 12分

21.解：（1）
，

由
得
，
…… 3分

所以
：单调递增区间为
，
，

单调递减区间为
. …………… 6分

（2）若要命题成立，只须当
时，
.

由
可知， 当
时
,

所以只须
.…………… 8分

对
来说，
，

①当
时，

当
时，显然
，满足题意，

当
时，令
，

，所以
递减，所以
，满足题意，

所以
满足题意；…………… 10分

②当
时，
在
上单调递增，

所以

得
，…… 12分

综上所述，
.…………… 13分

22.解：(1)设点
,

设直线

,代入
并整理得

所以
………………… 2分

故有

解得
………………… 5分

又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有

所以椭圆的方程为
. ……………………… 7分

(2)

证明：设
,则
,
且

将直线
的方程
代入椭圆的方程并整理得

……………… 9分

由题意可知此方程必有一根

,

所以
………… 12分

故有
, 即
……………………… 13分