淄博市2014届高三上学期期末考试

数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）

注意事项：

I．第Ⅰ卷共12小题．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．每小题只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数z满足
，则复数

A．1+3i B． l-3i C．3+ i D．3-i

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．
B．
C．
D．

4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知实数a、b，则“a>b”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知，等比数列
的公比为正数，且
，
，则

A．
B．
C．
D．2

7．如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．4

8．已知函数①
，②
，则下列结论正确的是

A．两个函数的图象均关于点
成中心对称

B．两个函数的图象均关于直线
对称

C．两个函数在区间
上都是单调递增函数

D．可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像

9．函数
的图象大致为

10．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足
，则△ABC的形状为

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

11．下列四个命题：

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；

②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回到原来的净值；

③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为
；

④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7．

其中真命题的个数是

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12．已知A、B、P是双曲线
上的不同三点，且A、B关于坐标原点对称，若直线PA、PB的斜率乘积
，则该双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共10道题．

2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上．）

13．计算定积分
____________

14．已知函数
，函数零点的个数是________

15．设z=x+y，其中x，y满足
，若z的最大值为2014，则k的值为_______．

16．若实数a、b、c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是________．

三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且
．

（I）求A的大小；

（Ⅱ）若sin B+sin C =1，试求内角B、C的大小．

18．（本小题满分12分）

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形；侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

（I）证明：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角B-DE-C平面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

请你设计一个包装盒，如图所示ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= xcm．

（I）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值；

（II）某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

20．（本小题满分12分）

等差数列
中，
，其前n项和为
，等比数列
中各项均为正数，b1 =1，且
，数列{bn}的公比
．

（I）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）证明：
．

21．（本小题满分13分）

已知动圆C与圆
相外切，与圆
相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．

（I）求轨迹T的方程；

(Ⅱ)已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

22．（本小题满分13分）

已知函数
（a为非零常数）图像上点（e，f(e)）处的切线与直线y= 2x平行（其中e= 2.71828…）．

（I）求函数f(x)解析式；

（Ⅱ）求函数f (x)在[t，2t](t >0)上的最小值；

（Ⅲ）若斜率为k的直线与曲线
交于A(x1，y1)、
（
）两点，求证：
．

2014届高三上学期期末考试数学试题

答案（文理）（阅卷）

一、选择题

1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C
9．D 10．C B 11．（文理）C 12． D

二、填空题：

13．（理）
，（文）0；14． 2；15． 1007；16．（理）
，（文）①④．

17．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）∵
，由余弦定理得：
，

故

………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
，

∴
，
，………………8分

方法一：∴
，∴
， ………………10分

又∵
为三角形内角，
，

故
，从而
． ………………12分

方法2：
，解得
………………10分

又∵
为三角形内角，故
． ……………12分

（注：处理角C同等对待！）

18．（本小题满分12分）

（理）

解析：（Ⅰ）如图，连接AC交BD于F，再连接EF； ……………………1分

因为四边形ABCD为正方形，所以F为AC中点； ……………………3分

又因为E为PC中点，所以EF//PA； ……………………5分

因为EF
平面BDE，PA
平面BDE，且EF//PA，

所以PA //平面BDE； ……………………6分

（Ⅱ）

方法一：如图所示，以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．

．（只建系无坐标不得分） ………………7分

设
是平面BDE的一个法向量，

则由
，得
，即
………………9分

又
是平面
的一个法向量． ……………10分

设二面角B―DE―C的平面角为
，

∴
．

故二面角B―DE―C平面角的余弦值为
． ……………12分

方法二：因为
，
，所以
平面CDP，
；

又因为△CDP为等腰直角三角形，E为CP的中点，所以
；

因为
，
，所以
平面BCP，
；

由于
，
，故二面角B―DE―C的平面角为
；………………8分

在△BCE中，
，
，

，

所以
， ……………10分

故二面角B―DE―C平面角的余弦值为
． ……………12分

（文）

证明：(Ⅰ)由已知，M为AB的中点，D为PB的中点，

所以MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP． ………………………3分

又MD
平面APC，AP
平面
APC，故MD∥平面APC． ………………………6分

(Ⅱ)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB．

又因为MD∥AP，所以AP⊥PB． ………………………7分

又AP⊥PC，AP⊥PB，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC． ………………………8分

因为BC?平面PBC，所以AP⊥BC． ………………………9分

又BC⊥AC，且BC⊥AP，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC． ………………………11分

因为BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC． …………………………12分

19．（本小题满分12分）

（理）

解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），

由已知得：
…………2分

（Ⅰ）
…………4分

所以当
时，S取得最大值． …………6分

（Ⅱ）
． …………8分

由
由
得：
（舍）或x=20．

当
时，
；

当
时，
；

所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值． …………10分

此时
，装盒的高与底面边长的比值为
…………12分

（文）

解析：（Ⅰ）4，6，6； …………4分

（Ⅱ）①得分在区间[20，30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13．

从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种． …………8分

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．

所以P(B)＝＝． …………12分

20．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由于
，可得
，………………2分

解得：
或
（舍去）， ………………………3分

，
， ………………………4分

………………………5分

………………………6分

（Ⅱ）证明：由
，得
………………………7分

…………9分

…………11分

故
…………12分

21．（本小题满分12分）

解析： （Ⅰ）
，
，∴
+
= 4 ………2分

∴点C的轨迹是以
、
为焦点（c=1），长轴长2a= 4的椭圆 ………………4分]

∴点C的轨迹T的方程是
……………………………………6分

（Ⅱ）设
，
，

将
代入椭圆方程得：
．

． （*式） ……………………………8分

为直径的圆过点
，
点的坐标为（2，0），

，即
． ……………………………10分

，
，
，代入（*式）得：
，

或
都满足
， ……………………12分

由于直线
：
与x轴的交点为（
），

当
时，直线
恒过定点
，不合题意舍去，

，直线
：
恒过定点
．………………………13分

22． （本小题满分13分）

（理）

解析:(Ⅰ) 由点
处的切线方程与直线
平行，得该切线斜率为2，即

，且
，所以
，…………1分

,





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增





………………………2分

①
,即
时,
；………………………3分

②
,即
时,
在
上单调递增,
；……………4分

(Ⅱ)
恒成立等价于
恒成立； ………………………5分

设
,则
；

当
,
,
单调递减；

当
,
,
单调递增；

所以
. ………………………6分

因为对一切
,
恒成立，需要
.………………………8分

(Ⅲ)
恒成立等价于
恒成立；

由（Ⅰ）可知
的最小值是
（当且仅当
取等号） …10分

设
,则
；

易得
（当且仅当
取等号）. ……………12分

由于
,从而对一切
,都有
成立. ……………13分

（文）

解析:(Ⅰ)当
时
,
. ………1分

，故切线的斜率为
. ………2分

所以切线方程为:
,即
. ………4分

(Ⅱ)
,





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增





………6分

①当
时,在区间
上
为增函数,

所以
………7分

②当
时,在区间
上
为减函数,在区间
上
为增函数,

所以
………8分

(Ⅲ) 由
，可得：
， ………9分

,

令
,
.





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增



 ………11分

,
,
.

. ………12分

实数
的取值范围为
. ………13分