烟台市2014届高三上学期期末考试数学（文）试题

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．设全集
，集合
，
，则

等于

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

2．若
，
，
，则

A．
B．

C．
D．

3．下列四个函数中，最小正周期为
，且图象关于直线
对称的是

A．
B．

C．
D．

4．设平面向量
，
，若
，则
等于

A．4　　　　　B．5　　　　C．
　　　　　D．

5．在
ABC中，若
，则A=

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　 D．

6．函数
的零点所在的区间是

A．(0,1)　　　B．(1,2)　　　C．(2,3)　　　D．(3.4)

7．已知直线l
平面
，直线
平面
，则下列四个结论：

①若
，则
②若
，则

③若
，则
④若
，则

其中正确的结论的序号是：

A．①④　　　　B．②④　　　　C．①③　　　D．②③

8。函数
的图象的大致形状是

9．设变量x，y满足约束条件
，则
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A．
B．9 C．
D．27

11．若双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则此双曲线的离心率等于

A.2 B．3 C．
D．9

12.已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，若在区间
内，函数
有三个零点，则实数k的取值范围是

A.
B．
C．
D.

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在答题卡的相应位置．

13．函数
的定义域为

14．若直线
与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且以坐标原点为圆心以
为半径的圆与直线l相切，则△AOB面积为

15．设等差数列
的前n项和为Sn，
，则正整数m的值为

16．给出以下四个结论：

①函数
的对称中心是

②若不等式
对任意的x∈R都成立，则
；

③已知点
与点Q(l,0)在直线
两侧，则
；

④若将函数
的图像向右平移
个单位后变为偶函数，则
的最小值是
．

其中正确的结论是：

三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．

17．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点
在角α的终边上，点
在角β的终边上，且

(1)求

(2)求P，Q的坐标并求
的值

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
，
，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA =1．

(1)求证：AB∥平面PCD；

(2)求证：BC⊥平面PAC；

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为

,

(1)求证：数列
为等差数列；

(2)设数列
的前n项和为Tn，求Tn．

20.（本小题满分l2分）

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录。为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足
（其中
，a为正常数）；已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
万元／万件．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润是大？

21.（本小题满分13分）

已知
是二次函数，不等式
的解集是
，且
在点
处的切线与直线
平行．

(1)求
的解析式；

(2)是否存在t∈N*，使得方程
在区间
内有两个不等的实数根？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，且
，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．

(1)求椭圆方程；

(2)设椭圆与直线
相交于不同的两点M、N，又点
，当
时，求实数m的取值范围，

高三数学（文）参考答案与评分标准（阅卷）

一、选择题(每小题5分)

D A D D C B C D D B B C

二、填空题（每小题4分）

13.
14.
15.
16.③④

三、解答题

17. 解：（1）∵
， ∴
……………2分

∴
，

∴
. ……………5分

（2）由（1）得：
， ∴

， ∴
……………7分

∴
，
， ……………9分

∴
，
，

，
， ……………11分

……………12分

18. 解 ：(1)证明：　∵AB∥DC，且AB
平面PCD，

CD?平面PCD.

∴AB∥平面PCD. ……………5分

(2)证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形

∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，

∴CE＝BE＝1，CB＝，∴AD＝CE＝1，则AC＝＝，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC， …………………9分

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC ………………12分

19. （1）由题意可得：
，

∴
…………3分

即：
，

所以数列
为等差数列； …………6分

（2）由（1）得：
，

，
………9分

， …………12分

20. 解：（1）由题意知，
，

将
代入化简得：

，（
）， ……………………6分

（2）
，

当且仅当
时，上式取等号. ……………………9分

当
时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当
时,
在
上单调递增,所以在
时,函数有最大值．促销费用投入
万元时，厂家的利润最大 .

综上述,当
时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当
时,促销费用投入
万元时，厂家的利润最大 . ……………………12分

21. 解:（1）∵
是二次函数，不等式
的解集是
，

∴可设
，
.

∴
. …………… 2分

∵函数
在点
处的切线与直线
平行，

∴
.

∴
，解得
.

∴
. …………… 5分

（2）解：由（1）知，方程
等价于方程
… 6分

设

，

则
. …………… 7分

当
时，
，函数
在
上单调递减；

当
时，
，函数
在
上单调递增. … 9分

∵
，

∴方程
在区间
，
内分别有唯一实数根，在区间

内没有实数根. …………… 12分

∴存在唯一的自然数
，使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根. …………… 13分

22. 解:（1）由已知，可得
，
，

∵
，∴
，
，

∴
. ……………………………………………………4分

（2）当
时，直线和椭圆有两交点只需
； ………………5分

当
时，设弦
的中点为
分别为点
的横坐标，由
，得
,

由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以

，即
① ……………………7分

……………………9分

又
②，…10分

将②代入①得
，解得
， 由②得
，

故所求的
取值范围是
. ……………………12分

………………………………………13分