合肥市2014年第一次教学质量检测

数学（文）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
，则
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

2． “
是真命题”是“
为假命题”的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的一条对称轴方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知数列
的前
项和为
，并满足：
，
，则
（ ）

A．7 B．12 C．14 D．21

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．函数
在区间
上有零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知程序框图如图所示，则输出的结果为（ ）

A．56 B．65 C．70 D．72

9．已知函数

在
上单调递增，且
，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
，若

，
都是某一三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ）

A．
不是“可构造三角形函数”

B． “可构造三角形函数”一定是单调函数

C．
是“可构造三角形函数”

D．若定义在R上的函数
的值域是
（e为自然对数的底数），则
一定是 “可构造三角形函数”

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知集合
，
，则
_____________.

12．函数
的值域是__________．

13．已知
中，
分别为
的对边，
,
，
，如
有两组解，则
的取值范围是

14．已知点
和曲线C:
，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则实数a的取值范围是 ．

15有下列命题：

①已知
是平面内两个非零向量，则平面内任一向量
都可表示为
，其中
；

②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则
；

③直线
的一个方向向量为
；

④已知
与
夹角为
，且
·
＝
，则｜
－
｜的最小值为
；

⑤
是（
·
）·
＝
·（
·
）的充分条件；

其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知
＝
，
＝
，其中
，若
·
＝1．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值．

17．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=
AB．直角梯形ACEF中，
，
是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）试判断直线DF与平面BCE的位置关系，并证明你的结论．

18．（本小题满分12分）

某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：

甲



乙



6 4 3

9

1 5



8 7 7 5 4 2

8

0 1 3 6 6 8 8 9



9

7







（Ⅰ）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？

（Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．

19．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求证：
时，
恒成立；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间．

20．（本小题满分13分）

已知
的三个顶点都在抛物线
上，且抛物线的焦点
满足
，若BC边上的中线所在直线
的方程为
（
为常数且
）．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）O为抛物线的顶点，
的面积分别记为
，求证：
为定值．

21．（本小题满分13分）

已知函数
，（x＞0），以点
为切点作函数图像的切线
，（
），直线
与函数
图像及切线
分别相交于
，记
.

（Ⅰ）求切线
的方程及数列
的通项；

（Ⅱ）设数列
的前n项和为
，求证：
＜1.

合肥市2014年第一次教学质量检测数学（文）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

A

A

D

C

C

D

C

A

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．
13．
14．
15．②④⑤

三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（12分）【答案解析】（Ⅰ）由已知得：
，

＝
＝
+
＝
． ……6分

（Ⅱ）由
得
，两边平方得：

即
，∵
，且
，


从而

． ……12分

17．（12分）【答案解析】（Ⅰ）证明：取AB中点H，连结CH，

底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=
AB,

易证四边形AHCD为平行四边形，

∴AD=HC=
AB，

=

， ……3分

平面
平面
，且平面
平面

，
平面
，而
平面
，故

． ……6分

（Ⅱ）
平面
，以下证明：

取AC的中点M，连接DM，FM．在平面ABCD中，DM，BC⊥AC，故DM∥BC． ……8分

在直角梯形ACEF中，
，故FM∥EC． ……10分

而BC，CE
平面BCE，BC∩CE=C，而DM，MF
平面DMF，DM∩MF=M，故平面BCE∥平面DMF，DF
平面DMF，从而，DF∥平面BCE． ……12分

18．（12分）【答案解析】（Ⅰ）由茎叶图可得：
，
，
，所以甲演唱水平更高一点，但甲的方差较大，即评委对甲的水平认可存在较大的差异 ……5分

（Ⅱ）依题意，共有 9 个基本事件：

甲的选择 乙的选择

其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件.

所以，所求概率为
． ………………12分

19.（13分）【答案解析】（Ⅰ）
时，
，

，令
，解得：

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增。

∴

所以，
，
． ……5分

（Ⅱ）
的定义域为

①当
时，
，此时
在区间
上单调递增，在
上单调递减；

②当
时，

令
，解得：

ⅰ）当
时，
，

令
，解得：

令
，解得：
或

此时
在区间
上单调递增，在
和
上单调递减；

ⅱ）当
时，
，此时
，
在区间
上单调递减.

综上，
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；

时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
和
；

时，
的单调递减区间为
，无单调增区间。 ………………13分

20．（13分）【答案解析】（Ⅰ）因为抛物线的焦点
满足
，
，

取BC边上的中点
,则
,故点
在直线
上，令
，得
，得抛物线的焦点

，于是，
． ……5分

（Ⅱ）记
，由
知：
， ……7分

且
．于是，

，证完． ……13分

21.（13分）【答案解析】（Ⅰ）对
，（x＞0）求导，得
，

则切线
方程为：
，即

易知
，

由
知
=

（Ⅱ）

=
=

=
=
=
＜1.