2013-2014学年第一学期第三次月考

高三数学（理科）

一、选择题：（本大题共l2小题．每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）

1.已知命题P：
则P为 （ ）

A．
B．

C．
D．

2.已知
,且
，则
等于 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3.若
是方程
的解，则
（ ）

A. (
,1) B. (
,
) C. (
,
) D. (1, 2)

4.已知等比数列{
}中，
,
，则
等于 （ ）

A.40 B.62 C.72 D.84

5.已知
是非零向量，且
，
，则
与
的夹角是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)

A．1＋ B．1＋ C．3 D ．4

7.若
则

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a

8.函数
的单调递增区间是（ ）

　 A.
　　 B.
　　C.
　　 D.

9.公差不为零的等差数列
}的前n项和为Sn，若a4是a3 与a7的等比中项，S8=32，则S10等于 （ ）

A． 18 B．24 C．60 D．90

10.下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数是（ ）

A.
B.
C.
D.

11.若a>0，b>0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）

A．
B．
C．
≥2 D．

12.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 ( )

A．4 cm3 B．5 cm3 C．6 cm3 D．7 cm3

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分。)

13.已知长方体的长为5，宽为3，其外接球的表面积为35，则长方体的高为 .

14.函数
在点
处的切线与函数
围成的封闭图形的面积等于_________.

15．若实数
满足不等式组
, 则目标函数
的最大值

是 .

16．已知函数
，若
，且
，使得

，则实数a的取值范围是 .

三、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

18.（本小题满分12分）

在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，b=2，求△ABC的面积S.

19．（本小题满分12分）

已知{
}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2 +a7=16．

（1）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）等比数列{bn}满足：b1=a1，b2=a2 -1，若数列cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn。

20. （本小题满分12分）

已知向量
,函数
的最大值为6.

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)将函数
的图象向左平移
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数
的图象.求
在
上的最大值和最小值.

21.（本小题满分12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，点是
的中点.

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小.

22．（本小题满分12分）

已知
是函数
的一个极值点。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若直线
与函数
的图象有3个交点，求
的取值范围。

高三年级理科数学试题（理）参考答案及评分标准

一．选择题：每小题5分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

C

C

B

C

B

D

C

A

D

A



二．填空题：每小题5分

13. 1 ; 14.
; 15. 2; 16.
.

三．17．（10分）解：如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

（1）∵PD⊥平面ABCD，∴
，又
，∴
面
，∴
。

（2）设点A到平面PBC的距离为，

∵
,∴

容易求出

18．解： （I）由正弦定理，设

则

所以

即
，

化简可得

又
，

所以

因此

（II）由
得

由余弦定理

解得a=1。

因此c=2

又因为

所以

因此

20.解析:(Ⅰ)
,

则
;

(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移
个单位得到函数
的图象,

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数
.

当
时,
,
.

故函数
在
上的值域为
.

另解:由
可得
,令
,

则
,而
,则
,

于是
,

故
,即函数
在
上的

21.解法一：

（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD

∴AB是PB在平面ABCD上的射影

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，

∴AC⊥PB

（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。

∵ABCD是平等四边形，

∴O是BD的中点，

又E是PD的中点，

∴EO∥PB

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC。

（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为

又

∴

∴OE⊥AC，OG⊥AC

∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。

∵

∴

∴二面角
的大小为

22.解：（Ⅰ）因为

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当
时，

当
时，

所以
的单调增区间是
，
的单调减区间是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
内单调增加，在
内单调减少，在
上单调增加，且当
或
时，

所以
的极大值为
，极小值为

因此

所以在
的三个单调区间
直线
有
的图象各有一个交点，当且仅当

因此，
的取值范围为
。