江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试

数学试卷（理科）

考试范围

集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何，概率（直线，直线与圆的位置关系部分，可少量涉及圆锥曲线）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：锥体体积公式
，其中S为底面积，h为高。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
，集合
（e为自然对数的底数）则M∩N＝

A.
B.
C.
D.

2. 已知等比数列
中，
，且
，则
的值为

A. 4 B. －4 C. ±4 D. ±

3. 如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为
，则主视图中三角形的高x的值为

A.
B.
C. 1 D.

4. “
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知函数
与
轴和
所围成的图形的面积为M，N＝
，则程序框图输出的S为

A. 1 B. 2 C.
D. 0

6. 设
，则
与
的大小关系是

A.
B.

C.
D. 与x的取值有关

7. 已知实数x，y满足
，则r的最小值为

A.
B. 1 C.
D.

8. 随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A点出发沿曲线段B→曲线段C→曲线段D，最后到达E点。某观察者站在点M观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，设观察者从点A开始随车子运动变化的视角为
∠AMP（
），练车时间为t，则函数
＝
的图像大致为

9. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”。已知直线
，
，和圆C：

的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为

A.
B.

C.
D.

10. 函数
，当
时，
恒成立，则
的最大值是

A. 3 B.
C. 4 D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 直线
的倾斜角为
，则
的值为_________。

12. 在平面直角坐标系中，O是原点，
是平面内的动点，若
＝
，则P点的轨迹方程是___________。

13. 已知函数
与
的图像关于直线
对称，若
，则不等式
的解集是_________。

14. 在区间
内图像不间断的函数
满足
，函数
，且
，又当
时，有
，则函数
在区间
内零点的个数是________。

15. 将2n按如表的规律填在5列的数表中，设
排在数表的第n行，第m列，则第m列中的前n个数的和
＝___________。















































…

…

…

…

…





三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且
。

（1）求B；

（2）若
，求
的值。

17. （本小题满分12分）

方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。可是，随着电动车的普及，它的安全性也越来越受到人们关注。为了出行更安全，交通部门限制电动车的行驶速度为24km/h。若某款电动车正常行驶遇到紧急情况时，紧急刹车时行驶的路程S（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：
。

（1）求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间；

（2）求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内?

18. （本小题满分12分）

正项数列
的前n项和为
，且
。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）求证：
。

19. （本小题满分12分）

已知三棱柱
中，平面
⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2。

（1）求证：AC1⊥平面A1BC；

（2）求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值。

20. （本小题满分13分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率
。它有一个顶点恰好是抛物线
=4y的焦点。过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且
。

（1）求动点C的轨迹E的方程；

（2）设椭圆的左右顶点分别为A，B，直线AC（C点不同于A，B）与直线
交于点R，D为线段RB的中点。试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论。

21. （本小题满分14分）

。

（1）求
的极值点；

（2）当
时，若方程
在
上有两个实数解，求实数t的取值范围；

（3）证明：当
时，
。

【试题答案】

1. C

，

，故
＝
。

2. A 由等比数列的性质，得
，故
，又
，∴
，解得
(负值舍去，因为
同号)。

3. C 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为
，高为x，体积为
，解得
，故选C。

4. B 当
时，
，则
；当
时，
，此时无法得出
。

5. C

，

，所以
，又框图的功能是求
中的较小值，故输出的值为
。

6. B
，又

，当
时，
，故
，而函数
在
为增函数，故
。

7. A 在平面直角坐标系中画出不等式组
表示的平面区域D，由于圆
经过平面区域D，因此其半径r的最小值为圆心(－1，1)到直线y=x的距离，即rmin
。

8. D 观察图象，可知随着时间的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除选项A；在曲线段B中间一段变化不大，然后角度减少到达曲线段C，接着角度增加，故排除选项C，后面又略减少到达曲线段D，之后一直增加到点E，并且角度要大于前面几段，排除选项B，故选D。

9. D 圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2，由两直线平行可得a(a+1)－6=0，解得a=2或a=－3，又当a=2时，直线l1与l2重合，舍去，此时两平行线方程分别为x－y－2=0和x－y+3=0；由直线x－y－2=0与圆(x+1)2+y2=b2相切，得

，由直线x－y+3=0与圆相切，得
，当两直线与圆都相离时，
，所以“平行相交”时，b满足
，故b的取值范围是
。

10. B 设
，则依题意
，代入可得：
，画出可行域，构造点
与原点连线的斜率可得
；而
，易知函数
为区间
上的增函数，故
。

11.
由题意可知，
，则
。

12. y2=2x－1 设P(x，y)，则
，又因为|
|＝|
|，所以(x－1)2+y2=x2，整理得y2=2x－1。

13.
若f(x)=4x－15，则g(x)=f(4－x)=4(4－x) －15=1－4x，故不等式
等价于
，即
，解得x<－1，或
。

14. 2 ∵f(－x)－f(x)=０，∴f(x)为偶函数，∵g(x)=exf(x)，∴


，∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，又∵g(0)?g(a)<0，∴函数g(x)=exf(x)在[0，a]上只有一个零点，又∵ex≠0，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，∵f(x)是偶函数，且f(0) ≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点。

15.
由于2014=4×503+2，故
位于表格的第504行第3列，所以n=504，m=3。所以
。

16. 解：（1）由余弦定理知得
，（2分)

∴
，……4分

∴
，又
，∴
。（6分）

（2）∵
，
，∴
，（8分）

∴
（10分）

。（12分）

17. 解：（1）
紧急刹车后电动车的速度

，（2分）

当电动车完全停止时

，令
=0，

得
，解得
或
（舍去)，

即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s。（6分）

（2）由（1）知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s，

又由车的速度
，（4分）

∴车子正常行驶的速度为：当
时，


，

故在限速范围内。（12分）

18. 解：(1)由
知

当
时，
，解得
；

当
时，
， （3分）

整理得
，又
为正项数列，

故
(
)，因此数列
是首项为2，公差为4的等差数列，

。(6分)

（2）由于

=
（8分）

因此

=
。（12分）

19. 解法一：

（1）由于平面
平面
，

所以
面
，所以
。(2分)

而
是菱形，因此
，

所以
平面
。（4分）

（2）设
，作
于
，连接
，

由（1）知
平面
，即
平面
，所以

又
于
，因此
，

所以
为