2013-2014学年第一学期期中考试试卷

高三数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1化简

A.
B.
C.
D.

2、设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)

A．充分而不必要条件　　 　　 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件

3、若平面向量
与
的夹角是180°，且
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

4、下列命题错误的是( )

A命题“若
则方程
有实根”的逆否命题为：“若方程
无实根则
”

B若
为假命题，则
均为假命题

C “
”是 “
”的充分不必要条件

D对于命题
“
使得
”，则
“
均有
”

5、下列函数中，在区间
上为增函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6已知
在R上是奇函数，且

( )

A. 2 B.-2 C.
D.98

7、在等差数列
中，已知
，则
等于（ ）

A .40 B.42 C.43 D.45

8、不等式
的解集是( )

A．
B．
C．
D．

9、函数
的图像如图所示，则它的解析式是（ ）

10、对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－2，＋∞) B．(－∞－2)

C．[－2,2] D．[0，＋∞)

11、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则(　　)

A．
B．

C．
D．a与b的大小关系不能确定

12、已知函数
有两个零点
，则有 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13、已知sin(＋α)＝，则cos(π＋α)的值为_________.

14、函数f(x)＝
的图象如图所示，则a＋b＋c＝　　　　. （第14题图）

15、.若幂函数
的图象过点（8,4），则该幂函数的解析式为

16、给出下列四个结论：

①“若
则
”的逆命题为真；

②若
为
的极值，则
；

③函数
（x
）有3个零点；

④对于任意实数x，有
且x>0时,
，则x<0时

其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）

填空题答案：

13 14

15 16

三.解答题（共6个小题，共70分）

17(10分)已知向量a＝(sin x,2cos x)，b＝(2sin x，sin x)，函数f(x)＝a·b－1.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)在给出的直角坐标系中，画出f(x)在区间[0，π]上的图象．

18(12分) 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

19 (12分)　已知向量m＝，

n＝.

(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.

20(12分)．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；

(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

21 (12分) 已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式：

（Ⅱ）等比数列
满足：
，若数列
，求数列
的前n项和
.

22.(12分)已知函数

.

(Ⅰ)若
，求曲线
在
处切线的斜率；

(Ⅱ)求
的单调区间；

（Ⅲ）设
，若对任意
，均存在
，使得
，求的取值范围.

高三数学（文科）

试题答案

1-5 AAABC 6-10 BBDCA AD

13、
14、. 15
16、④正确。

17、．解　(1)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1＝sin 2x－cos 2x＝sin，∴T＝＝π，

……………………………………………………………………………………………(3分)

当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值.………………(6分)

(2)列表：

2x－

－

0



π







x

0









π



y

－1

0



0

－

－1



…………………………………………………………………………………………(9分)

描点连线，得函数图象如图所示：

18、 ．解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，

所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，

解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分)

由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，

所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(6分)

(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，

因此bn＝＝.………………………………………………………(8分)

故Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝＝.

所以数列{bn}的前n项和Tn＝.…………………………………………………(12分)

19、解：（I解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2＝sin ＋

＝sin＋，

∵m·n＝1，∴sin＝.

cos＝1－2sin2＝，

cos＝－cos＝－.

(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B

＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.

∴2sin Acos B＝sin(B＋C).

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.

∴cos B＝，∵0

∴0

sin∈.

又∵f(x)＝sin＋.

∴f(A)＝sin＋.

故函数f(A)的取值范围是.

20、解： (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.

因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．

当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；

当x＝时，f(x)有极小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4

(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．

因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．

所以g(x)>g(1)＝－3.

所以k的取值范围是k≤－3.

21解：(Ⅰ)设等差数列
的公差为d，则依题设d>0

由
.得
① ---------------1分

由
得
② ---------------2分

由①得
将其代入②得
。即

∴
,又
,代入①得
, ---------------3分

∴
. ----------------

22、解：(1)由已知
， ……2分

.

故曲线
在
处切线的斜率为
. ………………4分

(2)
. ………………5分

①当
时，由于
，故
，

所以，
的单调递增区间为
. ………………6分

②当
时，由
，得
.

在区间
上，
，在区间
上
，

所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.

………………7分

（3）由已知，转化为
. ………………8分

………………9分

由(Ⅱ)知，当
时，
在
上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在
，故不符合题意.) ………………10分

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
的极大值即为最大值，
， ………11分

所以
，

解得
. ………………12分