徐州市2014届高三第一次质量检测

数学试题

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

参考公式：锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面面积，
是高．

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．

1．设复数


为虚数单位
,若
为实数,则
的值为 ▲ ．

2．已知集合
，
，且
，则实数
的值是 ▲ ．

3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．

4．在
的边
上随机取一点
, 记
和
的面积分别为
和
，则
的概率是 ▲ ．

5．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，

则该双曲线的离心率为 ▲ ．

6．右图是一个算法流程图，则输出
的值是 ▲ ．

7．函数
的定义域为 ▲ ．

8．若正三棱锥的底面边长为
，侧棱长为1，则此三棱锥

的体积为 ▲ ．

9．在△
中，已知
，
，且
的面积

为
，则
边长为 ▲ ．

10．已知函数
，则不等式
的

解集为 ▲ ．

11．已知函数
的最大值与最小正周期相同，则函数
在
上的单调增区间为 ▲ ．

12．设等比数列
的前
项和为
，若
成等差数列，且

，其中
，则
的值为 ▲ ．

13．在平面四边形
中，已知
，
，点
分别在边
上，且
，
．若向量
与
的夹角为
，则
的值为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系
中，若动点
到两直线
：
和
：
的距离之和为
，则
的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

已知向量
，
．

(1)若
，求
的值；

(2)若
，
，求
的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在三棱锥
中，点
分别是棱
的中点．

(1)求证：
//平面
；

(2)若平面
平面
，
，求证：
．

17．(本小题满分14分)

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点
为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为
米，圆心角为
（弧度）．

（1）求
关于
的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为
，求
关于
的函数关系式，并求出
为何值时，
取得最大值？

18．(本小题满分16分)

已知
的三个顶点
，
，
，其外接圆为
．

(1)若直线
过点
，且被
截得的弦长为2，求直线
的方程；

(2)对于线段
上的任意一点
，若在以
为圆心的圆上都存在不同的两点
，使得点
是线段
的中点，求
的半径
的取值范围．

19．(本小题满分16分)

已知函数
（
为常数），其图象是曲线
．

（1）当
时，求函数
的单调减区间；

（2）设函数
的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；

（3）已知点
为曲线
上的动点，在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
，在点
处作曲线
的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列
满足
，
，
，
是数列
的前
项和．

(1)若数列
为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项
；

（ⅱ）若数列
满足
，数列
满足
，试比较数列
前
项和
与
前
项和
的大小；

(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分）

如图，点
为锐角
的内切圆圆心，过点
作直线

的垂线，垂足为
，圆
与边
相切于点
．若
，

求
的度数．

B．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）

设矩阵
（其中
），若曲线

在矩阵
所对应的变换作用下得到曲线
，求
的值．

C．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，已知直线
的参数方程是
（
为参数）；以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆
的极坐标方程为
．由直线
上的点向圆
引切线，求切线长的最小值．

D．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）

已知
均为正数,证明：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某品牌汽车4
店经销
三种排量的汽车，其中
三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．

(1)求该单位购买的3辆汽车均为
种排量汽车的概率；

(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为
，求
的分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）

已知点
，
，动点
满足
．

(1)求动点
的轨迹
的方程；

(2)在直线
：
上取一点
，过点
作轨迹
的两条切线，切点分别为
．问：是否存在点
，使得直线
//
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

徐州市2014届高三第一次质量检测

参考答案

数学Ⅰ部分

一、填空题：

1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．

8．
　 9．
10．
11．
12．
13．
14．

二、解答题：

15．（1）由
可知，
，所以
，……………………………2分

所以
． ……………………………………………………6分

（2）由
可得，

，

即
， ① ……………………………………………………………10分

又
，且
②，由①②可解得，
，…………………12分

所以
．　 ……………………………14分

16．（1）在
中，
、
分别是
、
的中点，所以
，

又
平面
，
平面
，

所以
平面
．……………………………………6分

（2）在平面
内过点
作
，垂足为
．

因为平面
平面
，平面
平面
，

平面
，所以
平面
,………………8分

又
平面
，所以
，………………………………………………………10分

又
，
，
平面
，

平面
，所以
平面
，…………………………………………………12分

又