江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试

数学试卷（文科）

考试范围

集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何，概率

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：锥体体积公式
，其中S为底面积，h为高。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合
，则
＝

A.
B.
C.
D.

2. 2013年央视汉字听写大会节目中，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是

A. 84 B. 85 C. 86 D. 87.5

3. 如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为
，则主视图中三角形的高x的值为

A.
B.
C. 1 D.

4. “
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知M是
的最小值，N＝
，则下图所示程序框图输出的S为

A. 2 B. 1 C.
D. 0

6. 正项递增等比数列{
}中，
，则该数列的通项公式
为

A.
B.
C.
D.

7. 已知实数x，y满足
，则r的最小值为

A. 1 B.
C.
D.

8. 抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。现已知抛物线
的焦点为F，过抛物线上点
的切线为
，过P点作平行于x轴的直线m，过焦点F作平行于
的直线交m于M，则
的长为

A.
B.
C.
D.

9. 函数
，的图像如图所示，则函数
，
的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
，再向左平移
个单位后，得到y＝g（x）的图像，则函数
在（0，
）上

A. 是减函数 B. 是增函数 C. 先增后减函数 D. 先减后增函数

10. 随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A点出发沿曲线段B→曲线段C→曲线段D，最后到达E点。某观察者站在点M观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，设观察者从点A开始随车子运动变化的视角为
∠AMP（
），练车时间为t，则函数
＝
的图像大致为

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 直线
的倾斜角为
，则
的值为_________。

12. 一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）。

13. 圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程是_______。

14. 将2n按如表的规律填在5列的数表中，设
排在数表的第n行，第m列，则m＋n＝___________。















































…

…

…

…

…



15. 在区间
内图像不间断的函数
满足
，函数
，且
，又当
时，有
，则函数
在区间
内零点的个数是________。

三、解答题：本大题共小题，75分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
。

（1）求B；

（2）若
，求
的值。

17. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，AC⊥BC，AB⊥
，
，D为AB的中点，且CD⊥
。

（1）求证：平面
⊥平面ABC；

（2）求多面体
的体积。

18. （本小题满分12分）

为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：

月收入



[25，35）

[35，45）









频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

8

8

5

2

1



将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”。

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？

已知：
，

当
<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；

当
>2.706时，有90％的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；

当
>3.841时，有95％的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；

当
>6.635时，有99％的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关。

非高收入族

高收入族

总计



赞成









不赞成









总计









（2）现从月收入在[55，65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率。

19. （本小题满分12分）

正项数列
的前n项和为
，且
。

（1）证明数列
为等差数列并求其通项公式；

（2）设
，数列
的前n项和为
，证明：
。

20. （本小题满分13分）

已知P（
）为函数
图像上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率
。

（1）求函数
的单调区间；

（2）设
，求函数
的最小值。

21. （本小题满分14分）

已知
是椭圆E：
的两个焦点，抛物线
的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝
上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，过点
的动直线
交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【试题答案】

1. D 由
得
，所以
，
，所以
。

2. C 这些数据分别从小到大依次为
、
、
、
、
、
、
、
，共
个数，故这些数据的中位数为
。

3. C 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为
，高为x，体积为
，得
，故选C。

4. B 当
时，
，则
；当
时，
，此时无法得出
。

5.A M＝
，N＝
，所以 Ｍ

6. B由
得



，
或
（舍）

7. B 在平面直线坐标系中画出不等式组
表示的平面区域D，由于圆
经过平面区域D，因此其半径r的最小值为圆心（－1，1）到直线y＝x的距离，即rmin
。

8.C 如图所示，由抛物线的光学性质可知：
，又
，
，所以
，则
，所以
，故选C.

9. A 由图像可知
，故
，解得
，又当x＝0时，
，故
，又直线y＝kx＋1过（－3，0）、（0，1），因此k＝
，故
，平移后的图像的解析式为



，由


，解得
，故选A。

10. D 观察图像，可知随着时间的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除A；在蓝线中间一段变化不大，然后角度减少到达红线段，故排除B、C，接着角度增加，后面又略减少到绿线段，之后一直增加，并且角度要大小前面几段，故选D。

11.
由题意可知，
，则
。

12. 3.15 由几何概型与模拟方法可知
，解得
。

13.
设圆心坐标为
，则
，当且仅当
时取等号，此时圆心坐标为
，故圆方程为
。

14. 507 由于2014＝4×503＋2，故22014在第504行第3列，m＋n＝507

15. 2　 ∵f（－x）－f（x）＝０，∴f（x）为偶函数，∵g（x）＝exf（x），∴
，∴g（x）在[0，a]上为单调增函数，又∵g（0）?g（a）<0，∴函数g（x）＝exf（x）在[0，a]上只有一个零点，又∵ex≠0，∴f（x）在[0，a]上有且仅有一个零点，∵f（x）是偶函数，且f（0） ≠0，∴f（x）在[－a，a]上有且仅有两个零点。

16. 解：（1）由余弦定理知得
，（2分）

∴
，（4分）

∴
，又
，∴
。 （6分）

（2）∵
，
，∴
，（8分）

∴
（10分）

。 （12分）

17. 解：（1）∵AC＝BC，D为AB的中点，

∴CD
AB，又CD
，∴CD
面
，

又因为
平面ABC，故平面
平面
。（6分）

（2）

。（12分）

18. 解：（1）

非高收入族

高收入族

总计



赞成

25

3

28



不赞成

15

7

22



总计

40

10

50




故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；（5分）

（2）设月收入在[55，65）的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人.从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率＝
。（12分）

19. 解：由
得：当
时，
，得
，

当
时，
，

整理得
，又
为正项数列，

故
，（
），因此数列
是首项为1，公差为2的等差数列，

。（6分）

（2）
，

∴
，

∵
，∴
，（8分）

，

∴数列
是一个递增数列 ∴
，

综上所述，
。（12分）

20. 解：（1）
，
，

，

故当
即
时，