湖南省祁东县2014届高三教学调研试题

理科数学（2014.1.16.）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

若函数
，则
是（ ）

A．最小正周期为
的偶函数 B．最小正周期为
的奇函数

C．最小正周期为2
的偶函数 D．最小正周期为
的奇函数

若
的展开式中
项的系数为280，则
=

A．
B．
C．
D．

已知等比数列
公比为
，其前
项和为
，若
、
、
成等差数列，则
等于（ ）

A．
B．1 C．
或1 D．

设
,若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是
，则甲最后获胜的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

如图，已知正方体
上、下底面中心分别为
，将正方体绕直线
旋转一周，其中由线段
旋转所得图形是（ ）

8.已知双曲线
：
，若存在过右焦点
的直线与双曲线
相交于
两点且
，则双曲线离心率的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．

（一）选做题（请考生在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

9. 在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离为 ．

10.若关于实数
的不等式
的解集是空集, 则实数
的取值

范围是____________．

11. (选修4-1:几何证明选讲)如图，PA是
O的切线，切点为A过PA的中点M作割线交
0 于点B 和 C,若
110°,
300，则
______

（二）必做题（12～16题）

12.设
，
，若
，则

实数
________．

13.执行如右图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结

果为 ．

14.记不等式
所表示的平面区域为D，直线

与D有公共点，则
的取值范围是________．

15. 已知函数
若
，则实数
的取值范围是 ．

16.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，

第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，

下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和

第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;

第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。则不同的

固定方式有________．

三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求
的值域；

（2）若
的内角
的对边分别为
，且满足
，

，求
的值.

18（本小题满分12分）

如图，从
到
有6条网线，数字表示该网线单位时间内

可以通过的最大信息量，现从中任取3条网线且使每条网线通

过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息之和为
.

（1）当
时，线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；

（2）求
的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

如图，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四边形
是直角梯形，
，
，
，点
、
分别为
、
的中点。

求证：
平面
；

求直线
和平面
所成角的正弦值；

能否在
上找到一点
，使得
平面
？若能，请指出点
的位置，并加以证明；若不能，请说明理由?.

20.（本小题满分13分）

已知数列{
}、{
}满足：
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设
，求证数列
是等差数列，并求
的通项公式；

（Ⅲ）设
，不等式
恒成立时，求实数
的取值范围

21.（本小题满分13分）

已知直线

，一定经过椭圆C(中心在原点，焦点在x轴上)的焦点F，且椭圆
上的点到焦点F的最大距离为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若斜率为

的直线
交椭圆
与
、
两点，且
、
、
成等差数列，

点M（1,1），求
的最大值.

22.（本小题满分13分）

设
，

（1）若
的图像关于
对称，且
，求
的解析式；

（2）对于（1）中的
，讨论
与
的图像的交点个数.

湖南省祁东县2014届高三教学调研试题

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

C

A

C

B

D

C





二、填空题

（一）选做题（9-11） 9.
10.
11.

（二）必做题(12-16)

12.
13.
14.
15.
16. 2880

四、解答题

17.解：

，
，

（2）由条件得

化简得

由余弦定理得

18.解：（1）三条网线共有20种选择，其中
的有5种

∴

（2）

10

11

12

13

14

15




















分布列：

.

19.解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系

，
，
，
，
，

（1）平面ABC的法向量
，
，

∴ OD//平面ABC

（2）设平面ODM法向量为
，直线CD与平面ODM所成角为θ

，
，∴

∴

（3）设EM上一点N满足，

平面ABDE法向量
，

不存在
使
∴ 不存在满足题意的点N

(传统方法参照给分)

20.

由条件可知
恒成立即可满足条件，设

当
时，
恒成立

当
时，由二次函数的性质知不可能成立

当
时，对称轴
，

在
为单调递减函数．sj.fjjy.org

，

∴
∴
时
恒成立

21.解答 1)
……………………(4分)

2) 由题意可知，直线
的斜率存在且不为
，故可设直线
的方程为

满足
，

消去
得
．

，

且
，．

因为直线
的斜率依次成等差数列，

所以，
，即
，

又
，所以
，

即m=0． ……………………(9分)

联立
易得弦AB的长为

又点M到
的距离

所以

平方再化简求导易得
时S取最大值
……………………(13分)

22..解：（1）∵
的图像关于
对称

∴
为二次函数且对称轴为
∴

又 ∵
∴
∴

（2）
即

即

令

当
时

∵

∴

即
在
递增

当
时

∵

∴

即
在
递减

∵

当
时

当
时

∴① 当
时，
与
的图像无交点；

② 当
时，
与
的图像有一个交点；

③ 当
时，
与
的图像有两个交点.