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考试时间：120分钟 试卷满分：150分 2013.11.4 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数z1＝cos 23°＋isin 23°和复数z2＝cos 37°＋isin 37°，则z1·z2为 A.＋i B.＋i C.－i D.－i 3.设点是线段的中点，点在直线外，， ，则 A．1 B． 2 C．4 D．8 4. 若函数y=f(x)在R上可导，且满足不等式xf ′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a >b,则下列不等式一定成立的是 A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a) 5. 已知函数f(x)＝sinx－cosx且＝2f (x)，是f(x)的导函数，则＝ A．－ B. C. D．－ 6.等差数列的前项和为，若，那么的值是 A．65 B．70 C．130 D．260 7. 已知向量，那么“”是“向量互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 设在函数f(x)=xcosx-sinx的图象上的点的切线斜率为，若，则函数，的图象大致为 9.在数列中，则 A． B． C． D． 10.已知是R上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若则（ ） A．2013 B．1 C．0 D．－2013 二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上. 11. a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝____________. 12.已知函数f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在x=2时有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为__________________. 13．在等比数列中，，且，则的最小值为___ _______ . 14.在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈(0，]，则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于_________________. 15. 函数，实数互不相同，若，则的范围为 ． 三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题13分） (Ⅰ) 给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是 “族数列”．证明：若数列的前项和为是，证明数列是“族数列”， 并指出它对应的实常数. (Ⅱ)若数列满足，，求数列前项的和． 17. （本小题13分） 已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． ⑴若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标； ⑵若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 18. （本小题13分） 已知在同一平面内的两个向量，，其中.函数，且函数的最小正周期为. ⑴求函数的解析式； ⑵将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间. 19. （本小题13分） 已知是定义域为的奇函数，对于任意a，b∈R且当时，都满足. ⑴求证：在上是的增函数； ⑵若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20.（本小题14分） 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120?，BC＝AC＝3，点D在线段AB上. ⑴若，求BD的长; ⑵若点E在线段DA上，且∠DCE＝30?，问:当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小?并求出面积的最小值. 21.（本小题14分） 已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1) 对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (2) 求证：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－. 福州八中2013—2014高三毕业班第三次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准 所以数列是“族数列”， 对应的实常数分别为1，2……………………7分 (Ⅱ) 则有,，……， ,. ………………………………9分 ∴ 故数列前项的和………………………………13分 17. （本小题13分）解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得 ，∴或，……………………4分 又c与a方向相反，∴c＝(－2，－4)．……………………5分 (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0.…………………………8分 ∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0. ∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝.…………………………11分 ∴cos θ＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝.……………………13分 ⑵将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的解析式为 …………………………8分 由题意，得， 即，…………………………11分 ∴函数在上的单调递增区间是……………………13分 19．（本小题12分）解析：⑴不妨设，由，得 ，……………………2分 又是定义域为的奇函数，∴，而 ∴ ∴在上是增函数………………………………5分 ⑵是奇函数 不等式………………7分 在上是增函数 ∴对任意的，不等式恒成立 即对任意的恒成立 即对任意的恒成立…………………………9分 当时,不等式即为恒成立,合题意; ……………………10分 当时,有即 综上:实数的取值范围为…………………………13分 20.解：（本小题14分）⑴在△CDB中，∠CBD＝30?，BC＝3，，由余弦定理，得，……………………2分 即，解得，.……………………5分 ⑵设∠DCB＝，，在△CDB中，由正弦定理，得， 即，同理，……………………8分 所以， …………………………12分 ∵，∴. ∴当时，的最小值为.…………14分 21. （本小题14分）解析： (1)由条件知 2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3， 则a≤2ln x＋x＋. ……………………………………2分 设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. ………………………………4分 当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以[h(x)]min＝h(1)＝4. 因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以a≤[h(x)]min＝4. 故实数a的取值范围是(－∞，4]．…………………………6分 (2) 证明：问题等价于证明xln x＞－，x∈(0，＋∞)．即f(x) ＞－ ∵f′(x)＝ln x＋1. …………………………7分 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以，[f(x)]min＝f()＝－.……………………………………10分 设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，……………………12分 易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．…………………………14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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