一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1. 设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩ (RB)＝（ ）

A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)

2. 已知命题p：函数
在上为偶函数；命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∨q B．p∧q C．(┐p)∧(┐q) D．(┐p)∨q

3. 函数
，则满足
的x的取值范围是（ ）

A．
，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]

4. 已知
则（ ）

A．
　 B．
C．
　D．

5. 设当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2

A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D.

6. f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则
等于 (　　)．

A．－5 B．－6 C．－ D．－

7. 设函数f(x)＝x3＋sin x，若0≤θ≤时，f(mcos θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)

A．(0,1) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D.

8.已知函数
，且关于的方程
恰有三个互不相同的实数根
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题：（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）

9.直线
为参数)与曲线
为参数)的交点个数为______。

10. 已知函数f(x)＝ax4＋bcos x－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为________．

11.已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|
}，若A∩B≠
，则实数
的取值范围是________．

12. 若存在实数，使
成立，则实数的取值范围是 ．

13. 已知函数
（为常数）；若
时，
，则实数的取值范围是 .

14. 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”有________个．

15. 给出定义：若m－

①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为；

②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称；

③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；

④函数y＝f(x)在[－，]上是增函数．其中正确的命题的序号是________．

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，

命题q：实数x满足

(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；

(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

17.（本题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

已知cosA＝
； sinB＝
cosC．

(Ⅰ)求tanC的值；

(Ⅱ)若a＝
，求ABC的面积．

18.（本题满分12分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球(无放回，且每球取到的机会均等)，记随机变量X为取出3球所得分数之和．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

19.（本题满分13分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.

(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求平面PBD与平面BDA所成的二面角大小．

20. （本题满分13分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)

f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

21.（本题满分13分） 已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝

(Ⅰ)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(Ⅱ)是否存在实数k,对任意的
，不等式
恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

参考答案

一．选择题：

1. 【答案】B 【解析】A＝(1，4)，B＝[－1，3]，则A∩(RB)＝(3，4)．

8. B解析：依题意得关于的方程
恰有三个互不相同的实数根
，则
，当
时，由
，
，
，又
关于
对称，则
，
，
，

二．填空题：（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）

9.【解析】直线的普通方程
，圆的普通方程为
，可以直线圆相交，故有2个交点。【答案】2

10.解析：设g(x)＝ax4＋bcos x，则g(x)＝g(－x)．由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1. 答案：1

11.解析：由题意得A＝{x|－1－1。 答案：(－1，＋∞)

12.【解析】
表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即
，

则
【答案】

13. 【答案】

【解析】依题意函数
在区间
为减函数，所以
，所以取值范围为：
.

14. 解析：设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，

∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”．答案：2

15. 解析：①由定义知：－

∴①对，②对，③对，④错．答案：①②③

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a

当a＝1时，1

由
解得即2

若p且q为真，则?2

故，所求X的分布列为

X

3

4

5

6



P











…………10分

(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：

E(X)＝
．……………12分

19.解法：(1)证明：由题可知，AP、AD、AB两两垂直，则分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，

∴
＝(0,0,3)，
＝(2，6,0)，
＝(－2，2,0)，

∴
·
＝0，
·
＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

(2)显然平面ABD的一个法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·
＝0，n·
＝0.由(1)知，
＝(－2，0,3)，

∴整理得令x＝，则n＝(，3,2)，

∴cos〈m，n〉＝＝. ∴平面PBD与平面BDA的二面角为60°.

20. [解析]　(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

再由已知得解得………………4分

故函数v(x)的表达式为v(x)＝…………6分

(2)依题意并由(1)可得f(x)＝………8分

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；………9分

当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，………10分

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333，…………12分

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．………13分

21.解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.

当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；

当t≤4≤t＋1即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.

综上，h(t)＝…………………6分

(2) 设

则
在
上恒成立，

，