命题人：杨 建 审题人:高三数学备课组

考试时间：2013.12.28下午3：00——5：00

本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页。时量：120分钟 总分：150分

一、选择题（8*5分=40分）

1．设
，则“
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2.已知
，
，则
为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 设
是公差为正数的等差数列，若
等于（ ）A．120 B．105 C．90 D．75

5. 过双曲线
的右焦点作圆
的切线
(切点为
)，交轴于点．若
为线段
的中点，则双曲线的离心率为 （ ）

A．2 B．
C．
D．

6. 设直线l的方程为：
(
)，则直线l的倾斜角α的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知函数
, 则
的值为 （ ）

A．
B.
C.
D.

8.对于定义域为[0,1]的函数
，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的
，总有
②

③若
，
，都有
成立；

则称函数
为理想函数.

下面有三个命题：（1）若函数
为理想函数，则
；

（2）函数
是理想函数；

（3）若函数
是理想函数，假定存在
，使得
，且
，

则
； 其中正确的命题个数有（ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

二、填空题: （7*5分=35分）

9．若在区域
内任取一点P，则点P恰好在单位圆
内的概率为

10．某几何体的三视图如右，其中正视图与侧视图上半部分为半圆，则该几何体的表面积为 ．

11. 已知A、B是圆C (C为圆心）上的两点，
＝2，则
＝ ．

12．双曲线C：
的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上一动点，点Q的坐标是（1，4），则|PF1|＋|PQ|的最小值为　　 　．

13. 已知平面直角坐标系
上的区域由不等式组
给定. 若
为上的动点，点的坐标为
,则
的最大值为 .

14. 在二项式
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为

15．下列命题:

①当
时，
；②
是
成立的充分不必要条件；

③对于任意
的内角、、
满足：

；

④定义：如果对任意一个三角形，只要它的三边长、
、都在函数
的定义域内，就有
、
、
也是某个三角形的三边长，则称
为“三角形型函数”.函数
是“三角形型函数”.

其中正确命题的序号为 .（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，内角、、
的对边分别为、
、,且

（1）求A的大小；

（2）求
的最大值.

17．（本小题满分12分）

正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长是
，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．

（1）求证：A1C⊥面AEF；

（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角
的正切值．

18．（本小题满分12分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费

额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，

假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在区域返券60元；停在

区域返券30元；停在
区域不返券. 例如：消费218元，可转动转

盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为
（元），求随机变量
的分布列和数学期望.

19．（本小题满分13分）．

已知数列
的前项和为
，点
在直线
上.数列
满足
，且
，前9项和为153.

（1）求数列
、
{的通项公式；

（2）设
，数列
的前和为
，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数的值；

（3）设
，问是否存在
，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分13分 ）

直角坐标平面上，
为原点，
为动点，
，
. 过点
作
轴于
，过
作
轴于点
，
. 记点的轨迹为曲线
，点
、
，过点作直线
交曲线
于两个不同的点、
（点
在与之间）.

（1）求曲线
的方程；

（2）是否存在直线
，使得
，并说明理由.

21．（本小题满分13分）

已知函数
（
，为自然对数的底数）.

（1）求函数
的最小值；

（2）若
≥0对任意的
恒成立，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

张家界市民中2014届高三第五次月考数学答卷（理科）

选择题（8×5′=40′）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















班　级







学　号







姓　名







二．填空题（7×5′=35′）

9． 10．

11． 12．

13． 14.

15．

三 解答题（每大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

16、(本小题满分12分)

17． (本小题满分12分)

18．（本小题12分）

19．（本小题满分13分）

20. (本小题满分13分)

21.（本小题满分13分）

2014届张家界市民族中学高三第五次月考理科数学

参考答案与评分标准

一、选择题（
）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

A

B

B

C

B

D



8、

二、填空题（35分）

9、
10．
； 11、2 12、11 13．4； 14．
； 15．①③④．

三、解答题：

16.解：（1）由已知，根据正弦定理得

即
， 由余弦定理得

故
………………6分

（2）由（1）得：

故当
时，
取得最大值1.………………12分

17. 证明：（1）连接

正四棱柱



-------2分

又

-------4分

同理可得：

--------------------6分

（2）


∽

-------8分

又 底面边长是
，侧棱长是3

--------9分

得
，

同理
-----------（10分）

又
，
--------------12分

证法二 建立空间直角坐标系（略）

18、解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

则
………………3分

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.[

所以
………………4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是
.

（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量
的可能值为0，30，60，90，120.………5分

；
；

；
；

…………10分

所以，随机变量
的分布列为：

其数学期望
…………12分

19、解：（1）由题意，得
即
…………1分

故当
时，

当=1时，
，而当=1时， +5＝6,

所以，
…………2分

又
，即
…………3分

所以（
）为等差数列，于是

而
，
，

因此，
＝
，即
＝
…………4分

（2）

…………5分

所以，

…………6分

由于
，

因此Tn单调递增，故
…………7分

令
…………8分

（Ⅲ）
…………9分

①当m为奇数时，m + 15为偶数.

此时
，

所以
…………11分

②当m为偶数时，m + 15为奇数.

此时
，

所以
（舍去）. …………12分

综上，存在唯一正整数m =11，使得
成立. …………13分

20、解：(Ⅰ)设点T的坐标为
，点M的坐标为
，则M1的坐标为（0，
）

，于是点N的坐标为
，N1的坐标

为
，所以
…………2分

由

由此得
…………4分

由

即所求的方程表示的曲线C是椭圆.……………………6分

(Ⅱ)点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C

无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为
………7分

由方程组

依题意
…………9分

当
时，设交点
PQ的中点为
，

则

又
…………11分

而
不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|. ……13分

21.解：（1）由题意
，

由
得
.

当
时,
；当
时，
.

∴
在
单调递减，在
单调递增.

即
在
处取得极小值，且为最小值，

其最小值为
………………5分

（2）
对任意的
恒成立，即在
上，
.

由（1），设
，所以
.

由
得
.

易知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

∴
在
处取得最大值，而
.

因此
的解为
，∴
.………………9分

（3）由（2）知，对任意实数均有
，即
.

令

，则
.

∴
.

∴

…………13分