命题 孙介勋 审题 张小红 唐志兵

时量120分钟 满分 150分

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一项符合题目要求．

1.已知全集
，集合
，则
=________

A．
B．
C．
D．

2. “
”是“
”成立的__________

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 若
=________

A．1 B．—1 C．2 D．—2

4. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为________

A.
B.
C. 12 D. 8

5. 函数
的最小正周期为_________

A.
B. C.
D.

6. 若双曲线
的离心率为2，

则

A．2 B．
C．
D．1

7.方程
的解的个数有__________

A、1个 B 、2个 C、 3个 D、4个

8. 设
，则________

A．
B．
C．
D．

9. 已知函数
满足
,且

,则不等式
的

解集为__________

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10.
。

11. 若
是奇函数，则= ____.

12. 若变量
满足约束条件
则
的最大值为________.

13. 运行如图的程序框图,输出的结果是

14.已知向量
满足
，且
，

则
与
的夹角为__________.

15.设棱长为1的正方体为图形
，以
各个面的中心为顶点的正八面体为图形
，以

各个面的中心为顶点的正方体为图形
，以
各个面的中心为顶点的正八面体为图形

，……,以此类推.设正多面体
的棱长为
(各棱长相等的多面体称为正多

面体),则:

(1)
(2)当为奇数时,

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本小题12分) 已知函数
．

(1) 求
的值； (2) 若
，求
．

17. (本小题12分) 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.

已知

(Ⅰ) 求角A的度数；

(Ⅱ) 若
,求△ABC的面积S。

18. (本小题12分) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，

PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4
．

（I）求证：PD∥面ACE；

（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积。

19. (本小题13分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）,设该蓄水池的

底面半径为米，高为
米，体积为
立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积

的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本

为12000元（为圆周率）．

（Ⅰ）将
表示成的函数
，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）确定和
为何值时,该蓄水池的体积
最大。

20. (本小题13分) 设数列
的前项和为
, 若对于一切
,

(为非零常数),则称数列
为“和谐数列”,为“和谐比”。

(1)设数列
是首项为1，公差为2的等差数列，证明：数列
为“和谐数列”，

并求出“和谐比”；

(2)设正项等比数列
的首项为
,公比为
,若数列
为“和谐数列”,

试探究
与之间的关系,并说明理由。

21. (本小题13分) 已知函数
处取得极小值，其图象

过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为—1。

（1）求
的解析式；

（2）设函数
上的值域

也是
，则称区间
为函数
的“保值区间”。

试判断函数
在区间
是否存在“保值区间”？若存在，求出“保值区间”； 若不存在，说明理由。

高三文科数学第三次月考参考答案

一、选择题：

序号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9



答案

 C

 B

 A

 D

 C

 C

 B

 D

 B





二.填空题10. 2 11. —1 12. 13 13. 510 14.
15.
,

三.解答题16.解：
，
17.解：

18.解：（I）证明：（Ⅱ）∴

19.解:

取最大值。

20.解：
（2）
为等差数列，

，

21. 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（ax2+bx+c）ex， ∴f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]ex，

由
，即
，解得
．经检验，f（x）=（x2﹣2x+1）ex．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=（x2﹣1）ex．假设x＞1时，f′（x）存在“保值区间[m，n]”，（n＞m＞1）．

∵x＞1时，f′（x）=（x2﹣1）ex＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）是增函数，

依题意，
，即
，于是问题转化为（x﹣1）2ex﹣x=0有两个大于1的不等实根，

现在考察函数h（x）=（x﹣1）2ex﹣x（x≥1），h′（x）=（x2﹣1）ex﹣1．

令?（x）=（x2﹣1）ex﹣1，则?′（x）=（x2+2x﹣1）ex，∴当x＞1时，?′（x）＞0，

∴?（x）在（1，+∞）是增函数，即h′（x）在（1，+∞）是增函数．

∵h′（1）=﹣1＜0，h′（2）=3e2﹣1＞0．∴存在唯一x0∈（1，2），使得h′（x0）=0，

∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．于是，h（x0）＜h（1）=﹣1＜0，

∵h（2）=e2﹣2＞0，∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴只有一个交点，

即方程（x﹣1）2e2﹣x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾．

故当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．