2013年12月襄阳市高中调研统一测试

高三数学(理科)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：BAADB CCABA

二．填空题：11．10　　12．32　　13．(1)
(2){2}　　　　　　14．(1)1 (2)195(填196也可以，主要是对循环报数的理解)　　 15．
　 　　　16．

三．解答题：

17．(1)解：由题意得：
2分由函数的最小正周期为，得
∴
4分由
，得：
，k∈Z所以函数f (x)的单调增区间是
，k∈Z 6分

(2)解：将函数f (x)的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到
，即
的图象所以
8分令g (x) = 0得：
或
，k∈Z 10分所以在每个周期上恰好有两个零点，若y = g (x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为
12分

18．(1)解：根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件． 2分∴样本中一等品的频率为
，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2， 4分二等品的频率为
，故估计该厂产品的二等品率为0.3， 6分三等品的频率为
，故估计该厂产品的三等品率为0.5． 8分

(2)解：根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，P1)，(C1，P2)，(C1，P3)，(C2，C3)，(C2，P1)，(C2，P2)，(C2，P3)，(C3，P1)，(C3，P2)，(C3，P3)，(P1，P2)，(P1，P3)，(P2，P3)，共15种 10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A则A包含的基本事件有 (P1，P2)，(P1，P3)，(P2，P3)共3种故所求的概率
． 12分

19．(1)解：设等比数列{bn}的公比为q，由S4 = 4a3﹣2，得：
． 2分

(2)解：由公差d = 1 > 0知数列{an}是递增数列由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值∴
4分即
，解得：－5≤a1≤－4∴a1的取值范围是[－5，－4]． 6分

另解：由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值
当
时，Sn有最小值 4分又Sn的最小值是S5，∴
故－5≤a1≤－4∴a1的取值范围是[－5，－4]． 6分

(3)解：a1 =1时，an = 1 + (n﹣1) = n当n = 1时，b1 = T1 = 2b1﹣2，解得b1 = 2当n≥2时，bn = Tn﹣Tn﹣1 = 2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) = 2bn﹣2bn﹣1，化为bn = 2bn﹣1．∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴
∴
8分记数列{cn}的前n项和为Vn，则∴

10分两式相减得：

∴
． 12分

20．(1)解：由题意知,公司对奖励方案的函数模型f (x)的基本要求是： 当x∈[10，1000]时，①f (x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③
恒成立． 2分

(2)解：①对于函数模型
当x∈[10，1000]时，f (x)是增函数，则f(x)≥1显然恒成立 4分而若使函数
在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立而(29x)min = 290，∴
不恒成立故该函数模型不符合公司要求． 6分②对于函数模型
当x∈[10，1000]时，f (x)是增函数，
. ∴f (x)≥1恒成立 8分设
，则
当x≥10时，
所以g (x)在[10，1000]上是减函数 10分从而g (x)≤g (10) = 4lg10－2－2 = 0 ∴
≤0，即
∴
恒成立. 故该函数模型符合公司要求． 12分

21．(1) 解：根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{cn}有：3，5，1，2，43，5，1，4，23，5，2，1，43，5，2，4，13，5，4，1，23，5，4，2，1 2分(2)解：存在数列{cn}的创新数列为等比数列设数列{cn}的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em = m 4分若{en}为等比数列，设公比为q因为 ek+1≥ek (k = 1，2，3，…，m﹣1)，所以q≥1 当q = 1时，{en}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m 6分当q＞1时，{en}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3，…，m又1，2，3，…，m不是等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个． 8分

(3)解：设存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列设数列{cn}的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em = m若{en}为等差数列，设公差为d因为ek+1≥ek (k = 1，2，3，…，m﹣1)，所以 d≥0，且d∈N 当d = 0时，{en}为常数列，满足条件，即为数列em = m此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有
个 10分当d = 1时，符合条件的数列{en}只能是1，2，3，…，m此时数列{cn}是1，2，3，…，m，有1个； 12分当d≥2时，∵em = e1 + (m﹣1)d≥e1 + 2(m﹣1) = e1 + m + m﹣2又m > 3，∴m﹣2 > 0∴em > m，这与em = m矛盾，所以此时{en} 不存在综上满足条件的数列{cn}的个数为(m﹣1)! + 1个． 13分

22．(1)解：当a = 1时，
2分当
时，
当
时，
当x > 1时，
所以当x = 1时，f (x)取到极小值－2． 2分

(2)解：
所以切线的斜率
整理得
4分显然m = 1是这个方程的解,又因为
在(0，+∞)上是增函数所以方程
有唯一实数解，故m = 1． 6分

(3)解：当a = 8时，
，
函数y = f (x)在其图象上一点P(x0，f (x0))处的切线方程为
8分设
，则

若0 < x0 < 2，F (x)在(x0，
)上单调递减所以当x∈(x0，
)时，F (x) > F (x0) = 0，此时
10分若x0 > 2，F (x)在(
，x0)上单调递减所以当x∈(
，x0)时，F (x) > F (x0) = 0，此时
所以y = f (x)在(0，+∞)上不存在“转点” 12分若x0 = 2，
，∴即F (x)在(0，+∞)上是增函数, 当x > x0时，F (x) > F (x0) = 0，当x < x0时，F (x) < F (x0) = 0 即点P(x0，f (x0))为“转点”故函数y = f (x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标． 14分