时量：120分钟 总分：150分 命题：樊智能 审题：杨超群,谢立荣

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，）

1.已知集合
，
，全集
，则图中阴影部分表示的集合为 （ ）

A.
B.

C.
D.

2. 已知函数
则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知
（其中以
为常数且
），如果
,

则
的值为 （ ）

A．－3 B．－5 C．3 D．5

4.设函数


在点
处的切线方程为
，则曲线
处切线的斜率为 （ ）

A. 4 B.
C. 2 D.

5.定义在R上的函数
的图象关于点（
成中心对称，对任意的实数都有
且
则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知
则
的最大值为（ ）

A．
2 B．
C．
D．

7.
已知函数
（为正实数）的根的个数不可能为（ ）

A.6个 B. 5个 C. 4个 D.3个

8.对于定义域为[0,1]的函数
，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的
，总有

②

③若
，
，都有
成立；

则称函数
为理想函数. 下面有三个命题：

若函数
为理想函数，则
；

函数
是理想函数；

若函数
是理想函数，假定存在
，使得
，且
， 则
；

其中正确的命题个数有（ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

二.填空题（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分）

9.设
＜＜
若
为奇函数，则

10.

11．函数
的最大值是 ．

12．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为
，
，则切线AD的长为

13.设
的值为_________。

14.已知
，
，若
，
或
，则m的取值范围是_________。

15.我们把形如
的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”，则当
，
时，

(1).莫言函数的单调增区间为：___________

(2).所有的“莫言圆”中，面积的最小值为___________

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.(本小题满分12分)

设p：函数f(x)＝的定义域为(－∞，0]，q：关于x的不等式ax2－x＋a>0的解集为R. 若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．

17．(本小题满分12分)

已知向量
，
，函数

（Ⅰ）求
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
，
，

若
，且
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：

ξ

0

1

2

3



P

0.12

a

b

0.12



 （1）求p，q的值；

（2）求数学期望Eξ

19．（本小题满分12分）如图所示，在直角梯形ABCD中，
，
,AB=2，AD＝1,E是AB中点，F是DC上的点，且EF//AD,现以EF为折痕将四边形AEFD向上折起，使平面AEFD垂直平面EBCF，连AC,DC,BA,BD,BF,

(1)求证：CB平面DFB

(2)求二面角B-AC-D的余弦值。

20.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).

(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；

(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.

21．（本小题满分14分） 设函数
，函数
（其中
，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设
，求证：
（其中e是自然对数的底数）．

第三次月考理科数学参考答案

一．选择题：1至8 题 C A CA DBD D

二．填空题 ：9、
， 10、
11、10， 12、

13、
， 14、
， 15、
，

三．解答题：16、若p真，则ax－1≥0的解集为(－∞，0]，

所以0

若q真，则?a>. （6分）

因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以p与q一真一假．

故或，即0

所以a的取值范围是(0，]∪[1，＋∞)． （12分）

17．解：（Ⅰ）

（3分）

由
，

得
（5分）

所以
的单调增区间是
（6分）

（2）

是三角形内角，∴
即：
（7分）

∴
即：
． （9分）

，∴
代入可得：
，解之得：

∴
,
（11分）

,∴
，
． （12分）

18.解：（1）用A表示“该生语文课程取得优秀成绩”，

用B表示“该生数学课程取得优秀成绩”，

用C表示“该生英语课程取得优秀成绩”，

由题意得P（A）=0.5，P（B）=p，P（C）=q，p＜q，

P（
）=（1﹣0.5）（1﹣p）（1﹣q）=0.12，

P（ABC）=0.5pq=0.12，

解得p=0.4，q=0.6． (4分)

（2）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）=0.12，

P（ξ=1）=P（
）+P（
）+P（
）=0.5×（1﹣0.4）×（1﹣0.6）+（1﹣0.5）×0.4×（1﹣0.6）+（1﹣0.5）×（1﹣0.4）×0.6=0.38，

P（ξ=2）=P（AB）+P（A
）+P（
）=0.5×0.4×（1﹣0.6）+0.5×（1﹣0.4）×0.6+（1﹣0.5）×0.4×0.6=0.38，

P（ξ=3）=0.12， （10分）

∴Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．（12分）

19．（本小题满分12分）解：在直角梯形ABCD中过B作BM⊥DC于M,因
,AB=2，AD＝1,所以MC=1,FC=2

又因为所以折叠后平面AEFD⊥平面EBCF,且DF⊥EF,

所以DF⊥平面EBCF, ……………2分

如图，以F为坐标原点，射线FE为x轴的正半轴, 射线FC为y轴的正半轴, 射线FD为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

（1）依题意有A（1，0，1）B（1，1，0），D（0，0，1），C（0，2，0）.

则

所以
………………4分

即CB⊥FB，CB⊥FD.又

故CB⊥平面DFB. ………………6分

（2）依题意有

设
是平面CAD的法向量，则

因此可取
……………8分

同理设
m是平面CAB的法向量，则

可取
………11分

故二面角B—AC—D的余弦值为
…… …………12分

20.(1)依题意，L(x)＝(x－3)(11－x)2－a(11－x)2＝(x－3－a)(11－x)2，x∈[7,10].………(4分)

(2)因为L′(x)＝(11－x)2－2(x－3－a)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a)＝(11－x)(17＋2a－3x).

由L′(x)＝0，得x＝11�黐7,10]或x＝.………(6分)

因为1≤a≤3，所以≤≤.

①当≤≤7，即1≤a≤2时，L′(x)在[7,10]上恒为负，则L(x)在[7,10]上为减函数，所以[L(x)]max＝L(7)＝16(4－a).(9分)

②当7<≤，即2

即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元.当2

21．解答 （Ⅰ）
，函数
，
，当
时，
；当
时，
，故该函数在
上单调递增，在
上单调递减．∴函数
在
处取得极大值
． 4分

（Ⅱ）由题
在
上恒成立，∵
，
，∴
，

若
，则
，若
，则
恒成立，则
．

不等式
恒成立等价于
在
上恒成立，6分

令
，则
，

又令
，则
，∵
，
．

①当
时，
，则
在
上单调递减，∴
，

∴
在
上单调递减，∴
，即
在
上恒成立； 7分

②当
时，
．

ⅰ）若
，即
时，
，则
在
上单调递减，∴
，∴
在
上单调递减，∴
，此时
在
上恒成立； 8分

ⅱ）若
，即
时，若
时，
，则
在
上单调递增，∴
，∴
在
上也单调递增，

∴
，即
，不满足条件． 9分

综上，不等式
在
上恒成立时，实数a的取值范围是
．10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，则
，

当
时，

，令
，则
，

∴
，∴
，∴
， 12分

又由（Ⅰ）得
，即
，当x＞0时，
，

∴
，

，

综上得
，即
． 14分