2013—2014学年度第一学期高三年级五调考试

数学（理）试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 设i是虚数单位，则复数 的虚部是(　　)

A. －　　 　 B．－ C. 　　　　　D．　

2.已知命题
，命题
，则( 　 )

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,

则该几何体的体积为（ 　　）
．

A．
B.

C．
D.

4．以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，

这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率

为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；

④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握

程度越大．

其中真命题的个数为(　　)

A．1 　B．2 C．3 　　D．4

5. 已知等比数列{
}的公比
,且
,
,48成等差数列,则{
}的前8项和为( )

A．127 B．255 C．511 D．1023

6．程序框图如图所示：

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入(　　)

A．K＜10?　 B．K≤10? C．K
9?　 D．K≤11?

7.已知
则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知菱形ABCD的边长为4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）

A.
B.
C.
D.

9.函数
若关于
的方程
有五个不同的实数解,则
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知向量a，b，c满足
，
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为双曲线的中心，
是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为
，且圆
与
轴相切于点
，过
作直线
的垂线，垂足为
，若
为双曲线的离心率，则( )

A.
B.
C.
D.
与
关系不确定

12．数列
共有12项，其中
，
，
，且
，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）

A.84 B.168 C.76 D.152

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.已知
的展开式中
的系数是－35，

则
=

14.已知f?(x)是R上的减函数，A(3，-1)，B(0，1)是其图象上两个点，则不等式
的解集是__________

15.已知抛物线
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=

16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．

三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程）

17. （本小题满分12分）已知圆O的半径为R (R为常数),它的内接三角形ABC满足

成立,其中
分别为
的对边,

求三角形ABC面积S的最大值.

18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。

（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数
的方差是多少？

19. （本小题满分12分）直四棱柱
中，底面
为菱形，且
为
延长线上的一点，
面
.设
.

(Ⅰ)求二面角
的大小；

(Ⅱ)在
上是否存在一点
，使
面
?

若存在，求
的值;不存在，说明理由.

20. （本小题满分12分）已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，

且椭圆经过点
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.

21. （本小题满分12分）已知函数
(其中
).

(Ⅰ) 若
为
的极值点,求
的值；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式
；

(Ⅲ) 若函数
在区间
上单调递增,求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）

已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一

点，过点
作半圆的切线
，过点
作
于
，

交圆于点
，
．

（Ⅰ）求证：
平分
；

（Ⅱ）求
的长．

23. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为
（
为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点
，直线l的极坐标方程为
。

（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求
的值。

24. （本小题满分10分）已知函数

（1）解不等式

（2）若
.求证：
.

2013—2014学年度第一学期高三年级五调考试

数学（理）答案

一、选择题：BCCBB ACDBA CA

二、填空题： 1

三、解答题：17. 解:由
,

由正弦定理得
代入得

,由余弦定理

---6分

所以

=

当且仅当
时,
-------------------------12分

19. 解：(Ⅰ)设
与
交于
，如图所示建立空间直角坐标系
，

则
设

则

平面

即
……………………2分

设平面
的法向量为

则由
得
令

平面
的一个法向量为

又平面
的法向量为

二面角
大小为
…………………………………………6分

(Ⅱ)设
得

……10分

面

存在点
使
面
此时
………………………12分

20. （1）
，又

…………4分

（2）显然直线
不与
轴重合

当直线
与
轴垂直时，|
|=3，
，
；………………5分

当直线
不与
轴垂直时，设直线
：
代入椭圆C的标准方程，

整理，得

………………7分

令

所以

由上，得

所以当直线
与
轴垂直时
最大，且最大面积为3 ……………10分

设
内切圆半径
，则

即
，此时直线
与
轴垂直，
内切圆面积最大

所以，
………………12分

21. 【解析】(Ⅰ)因为

…2分

因为
为
的极值点,所以由
,解得
……………3分

检验,当
时,
,当
时,
,当
时,
.

所以
为
的极值点,故
.……………4分

(Ⅱ) 当
时,不等式

,

整理得
,即
或
…6分

令
,
,
,

当
时,
；当
时,
,

所以
在
单调递减,在
单调递增,所以
,即
,

所以
在
上单调递增,而
；

故
；
,

所以原不等式的解集为
；……………8分

(Ⅲ) 当
时,

因为
,所以
,所以
在
上是增函数.

当
时,
,
时,
是增函数,
.

① 若
,则
,由
得
；

② 若
,则
,由
得
.

③ 若
,
,不合题意,舍去.

综上可得,实数
的取值范围是
……12分](亦可用参变分离求解).

22．解：（Ⅰ）连结
，因为
，所以
， 2分

因为
为半圆的切线，所以
，又因为
，所以
∥
，

所以
，
，所以
平分
． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， 6分

连结
，因为
四点共圆，
，所以
， 8分

所以
，所以
． 10分

23.解：（1）直线
即

直线
的直角坐标方程为
，点
在直线
上。

（2）直线
的参数方程为
（
为参数），曲线C的直角坐标方程为

将直线
的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，

有
，

设两根为
，

（24）解：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3． …4分

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …5分

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()，即|ab－1|＞|a－b|． …6分

因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2

＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)

＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立． 10分