绝密★启用前 试卷类型：A

汕头市2014年普通高中高三教学质量监控测评试题

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和坐号．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

参考公式：锥体体积公式为
，其中
为锥体的底面积、
为锥体的高；

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．函数
的定义域为（ ）

A.[0,1] B.(0,1) C.[0,1] D.(0,1]

2.复数
（其中
为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2013年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为（ ）

A.36 B.35 C.32 D.30

4.设
为奇函数，当
时，
，则

A.
B.
C.
D.

5.某几何体的三视图如右图所示，它的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知函数
，则
的（ ）

A.最小值为3 B.最大值为3

C.最小值为
D.最大值为

7.如果执行右面的程序框图，则输出的结果是（ ）

A.10 B.22 C.46 D.94

8.已知向量
，

若
，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知函数
的图像如左图所示，则函数

的图像可能是（ ）

10.定义函数
，以下几个命题中

①存在实数
，使
；②任意
，都有
;

③存在实数
，使
;④任意
，都有

正确的命题个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）

（一）必做题（11-13题）

11.设等比数列
的公比
，前
项和为
，则

12.已知
分别为
内角
的对边，
,且
则
的面积为

13.设命题
，命题
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14（坐标系与参数方程）已知曲线
的极坐标方程分别为
，
则曲线
与
交点的极坐标为

15.（几何证明选讲选做题）如图，已知
、
为⊙
的切线，

、
分别为切点，
为⊙
的直径，
，

则

三、解答题（本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为

（1）求
的值

（2）设
，求
的值

17. （本小题满分12分）

某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）求高三（1）班全体女生的人数及分数在
之间的女生人数；

（2）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析女学生的失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在
之间的概率。

18. （本小题满分14分）

某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？

19. （本小题满分14分）

如图，已知四棱锥
中，
平面
，底面
是直角梯形，

且

（1）求证：
平面

（2）求证：
平面

（3）若
是
的中点，求三棱锥
的体积。

20. （本小题满分14分）

若各项为正数的数列
的前
项和为
，首项
，点
在函数
的图像上

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设数列
的通项公式为
，是否存在整数
，使得数列
中存在项
，满足
：构成等差数列，若存在，请求出所有符合条件的
的值；若不存在，请说明理由。

21. （本小题满分14分）

设函数

（1）若曲线
在
处的切线与曲线
相切，求
的值；

（2）当
时，试讨论函数
在
的零点个数。

汕头市2014年高三教学质量监控测评文科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.

题次

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

A

A

D

D

C

A

C

D



二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分.

11.
； 12.
； 13.
； 14.
； 15.
.

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解：（1）
函数
的最小正周期为
， 且
＞0

， ………1分

………2分

（2）由（1）得
………3分

………4分

………5分

………6分

又
………7分

………8分

， ………9分

………10分

∴
………11分

………12分

⒘解：（1）设全班女生人数为
， ………1分

由茎叶图知，分数在
人数2人，则 ………2分

………3分

………4分

分数在
之间的女生人数为：25-21=4人 ………5分

（2）设分数在
之间的4份女生试卷为
，分数在
之间的2份女生试卷为
………6分

从
之间的6份女生试卷中任取两份，所有可能情况为：

，

共15个基本事件， ………8分

记
{至少有一份分数在
之间} ………9分

则事件
包含的基本事件有:

，

共9个基本事件 ………10分

即至少有一份分数在
之间的概率为
. ………12分

18．解：设生产甲产品
吨，生产乙产品
吨,利润为
万元 ………1分

则有：

………4分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如下图： ……6分

目标函数
………7分

即
………8分

作直线
：
，

平移
，由图可知当
经过点
时，纵截距最大，即
取到最大值 …10分

解方程组
得

………12分

………13分

答：生产甲、乙两种产品各3吨和4吨，能够产生最大利润27万元。 ………14分

19．解:（1）
底面
是直角梯形，且
,

， ……… 1分

又
平面
………… 2分

平面
………… 3分

∴
∥平面
………… 4分

（2）

，
，

…………… 5分

则

∴
………… 6分

平面
，
平面

∴
………… 7分

又
…………8分

∴
平面
………… 9分

（3）在直角梯形
中，过
作
于点
，

则四边形
为矩形，
………… 10分

在
中可得

故
……… 11分

∵
是
中点，

∴
到面
的距离是
到面
距离的一半 ………… 12分

∴
…………14分

20.解：（1）因为点
在曲线
上，

所以
………1分

令
，则
………2分

即

∴
………3分

（2）由
得
. ………4分

又
………5分

所以数列
是以
为首项，1为公差的等差数列

所以
， 即
………6分

当
时，
………7分

………8分

而
也满足上式，

所以
………9分

⑶由（2）知，
，

要使
，
，
成等差数列，必须
，

即
， ………10分

化简得
． ………12分

∵
，且
为整数，∴
只能为1,2,4 ………13分

∴所有符合条件的
值为2，3，5． ………14分

21. 解：（1）由
可得

. ………1分

∴

∴曲线
在
处的切线方程为

即
………2分

又该切线与曲线
相切

∴
有两个相等实根, ………3分

即
有两个相等实根

∴
………4分

即

解得
………5分

（2）

∴
=
，

∴

=
. …6分

，

① 当
时，
，

∴
≥0在R上恒成立，

∴
在
上单调递增 . ………7分

此时
，

则
在
仅有一个零点； ………8分

②当
时，

由
得

i）当
时，

则当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增； ………9分

又
，故
在
没有零点； ………10分

ii）当
时，
，则

在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增 ………11分

法1：

∴
∴

从而
即
故

而

∴
………13分

综上，当
时，
在
没有零点；

当
时，
在
仅有一个零点。 ………14分

法2：

∴

又
故
在
仅有一个零点； ………13分

综上，当
时，
在
没有零点；

当
时，
在
仅有一个零点。 ………14分