第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知复数z＝，则z的共轭复数为（A）1－2i （B）1＋2i（C）1－i （D）1＋i

（2）已知集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x－1≤0}，则A∪B等于（A）(－∞，3] （B）(－∞，3)（C）[2，3] （D）(－3，2]

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为（A）－1 （B）1（C）3 （D）9

（4）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于（A）54 （B）45（C）36 （D）27

（5）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（A）588 （B）480（C）450 （D）120

（6）已知正数x，y满足则z＝()x·()y的最小值为（A）1 （B） （C） （D）

（7）已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于（A） （B） （C） （D）

（8）把5位人员派往3个不同的城市监督环保工作，要求每个城市至少派一位人员的不同分配方案有（A）36种 （B）150种 （C）240种 （D）300种

（9）已知函数f(x)＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的最小正周期为2，且f()＝1，将y＝f(x)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝（A）sin((x＋) （B）sin((x－)（C）sin((x＋) （D）sin((x－)

（10）已知某几何体的三视图如图（单位：m）所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m2）等于（A） （B）16π（C）8π （D）

（11）已知点F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（A）(1，＋∞) （B）(2，1＋)（C）(1，1＋) （D）(1，2)

（12）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，f((x)是f(x)的导函数，当x＞0时总有xf((x)＜f(x)成立，则不等式f(x)＞0的解集为（A）{x|x＜－1或x＞1} （B）{x|x＜－1或0＜x＜1}（C）{x|－1＜x＜0或0＜x＜1} （D）{x|－1＜x＜1且x≠0}

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________．

（14）(＋x)(1－)4的展开式中x的系数是__________．

（15）已知||＝||＝1，·＝0，点C满足＝λ＋μ（λ，μ∈R），且∠AOC＝30(，则等于_____________．

（16）设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和，Tn＝，则当n＝__________时，Tn最大．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，cos∠ABC＝，AB＝6，AD＝2DC，点D在AC边上．

（Ⅰ）若BC＝AC，求sin∠ADB；

（Ⅱ）若BD＝4，求BC的长．



（18）（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分．

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．

（19）（本小题满分12分）

如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90(，AB＝AD＝CD＝a，PD＝a．

（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；

（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

（20）（本小题满分12分）

已知两点F1(－1，0)及F2(1，0)，点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点F1，F2在直线l上的正投影分别为M，N,求四边形F1MNF2的面积S的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f (x)＝x－－alnx．

（Ⅰ）若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与圆x2＋y2－2y＝0相切，求a的值；

（Ⅱ）当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象恒在坐标轴x轴的上方，试求出a的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，己知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2的另一交点为G．

（Ⅰ）求证：A，E，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AG切⊙O2于G，求证：∠AEF＝∠ACG．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程；并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|．

（Ⅰ）解不等式f(x)≤6；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)＜|1－2a|有解，求实数a的取值范围．

高三年级12月月考理科数学答案

一、选择题：CBCAB CABAD DB

二填空题： 13。X=—1 14。3 15.  16．4

17．解：（Ⅰ）因为BC＝AC，所以∠A＝∠ABC，

因为AB＝6，所以AD＝AC＝×＝6．

于是AB＝AD．

因为cosA＝2cos2－1＝，所以cos2＝，

又∈(0，)，所以sin∠ADB＝sin(－)＝cos＝． …（6分）

（Ⅱ）设BC＝a，AD＝2DC＝2m．

在△ABC中，由余弦定理得9m2＝36＋a2－2×6a×，

即9m2＝36＋a2－4a．①

由∠BDA与∠BDC互补知，cos∠BDA＋cos∠BDC＝0．

再由余弦定理得＋＝0，

即＋＝0，化简得3m2＝a2－54．②

由①②解得a2＋2a－99＝0，a＝9或a＝－11（舍去）．故BC＝9．…（12分）

．

 18．解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，

则P（A）=
，P（B）=
，P（
）=
，P（
）=
．

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，

则ξ概率分布为：

∴Eξ=0×
+2×
=

∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为
．… … （6分）（Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是

“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，

而P（C）=
×
=
．

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为1﹣P（C）=
．

即甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为
．（12分）



19．

解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，

在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点

∴MN∥AC，…（2分）

又AC?面MDE，MN?面MDE，

所以 AC∥平面MDE． …（4分）

（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，
a），B（a，a，0），C（0，2a，0），

所以
，
，…（6分）

设平面PAD的单位法向量为
，则可取
…（7分）

设面PBC的法向量
，

则有

即：
，取z=1，

则
∴
…（10分）

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，

∴
…（11分）

∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）





20．解：（1）依题意，设椭圆C的方程为
．

∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4，a=2．

又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为
． …（4分）

（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，

化简得：m2=4k2+3．

设
，
，

法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，

∴
，
=
，

∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，
，
，
．

当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，
．

所以四边形F1MNF2面积S的最大值为
． …（12分）

法二：∵
，
．





由题意，只需当
时，
恒成立. （5分）

综上所述，的取值范围是
. …（12分）

|PM|＋|PN|最大值是4 …（10分）

24．（Ⅰ） [—1，2] -------------(5分)

------(10分)