一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合A＝{y|y＝x2}，B＝{y|x2＋y2＝2}，则A∩B＝（A）{(1，1)，(－1，1)} （B）{－2，1}（C）[0，] （D）[0，2]

2．设复数z＝，则z的共轭复数＝（A）＋i （B）＋i（C）－－i （D）－i

3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（A）8 （B）2（C）6＋4 （D）4＋4

4．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（A）f(x)＝x|x| （B）f(x)＝－x3（C）f(x)＝sinx（x∈[0，]） （D）f(x)＝

5．运行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（A）3 （B）4（C）5 （D）6

6．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是（A）(1，2) （B）(e，＋∞) （C）(2，3) （D）(，1)和(3，4)

7．已知函数f(x)的对应值表如下，数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1，2，3，…，则a2012＝

x

1

2

3

4

5



f(x)

5

4

3

1

2



（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

8．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与c的夹角为60(，|b|＝|a|，则a与b的夹角为（A）30( （B）150( （C）60( （D）120(

9．设点P是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率为（A） （B） （C）＋1 （D）

10．a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（A）sinA＋cosA＝ （B）tanA＋tanB＋tanC＞0（C）b＝3，c＝3，B＝30( （D）·＜0

11．已知a是实数，则函数f(x)＝acosax－1的图象不可能是

12．已知f(x)＝则满足不等式f(3－x2)＜f(2x)的x的取值范围是（A）(－3，－) （B）(－3，1)（C）[－3，0) （D）(－3，0)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．

13．函数f(x)＝sin2x－cos2x在区间[，]上的最大值为________．

14．已知点P(x，y)的坐标满足条件则点P到直线3x－4y－9＝0距离的最小值为_________．

15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝2，BC＝2，∠BAC＝90(，且此三棱柱的各个顶点都在同一球面上，则该球的体积为_________．

16．在△ABC中，A＝30(，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R．

（Ⅰ）求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c＝，f(C)＝0，向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．

18．（本小题满分12分）

某国际会议在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．

（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：

会俄语

不会俄语

总计



男









女









总计





30



并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d

参考数据：

P(K2≥k0)

0.40

0.25

0.10

0.010



k0

0.708

1.323

2.706

6.635



（Ⅱ）会俄语的6名女记者中有4人曾在俄罗斯工作过，若从会俄语的6名女记者中随机抽取2人做同声翻译，求抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率．

19．（本小题满分12分）

在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝1，AA1＝，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．

（Ⅰ）求证：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC＝OA，求三棱锥B1－ABC的体积．

20．（本小题满分12分）

设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上一点，PF2⊥x轴，∠PF1F2的正切值为．

（Ⅰ）求C的离心率e；

（Ⅱ）过点F2的直线l与C交于M、N两点，若△F1MN面积的最大值为3，求C的方程．

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)＝x2＋ax－lnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝1时，求f(x)的极值；

（Ⅱ）当a≥2时，讨论f(x)的单调性．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，以B为圆心的⊙B与⊙O的一个交点为P，过A点作直线交⊙O于点Q，交⊙B于点M，N．

（Ⅰ）求证：QM＝QN；

（Ⅱ）设⊙O的半径为2，⊙B的半径为1，当AM＝时，求MN的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线C：(sin2(＝2cos(，过点A(5，()（(为锐角且tan(＝）作平行于(＝（(∈R）的直线l，且l与曲线C分别交于A，B两点．

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的普通方程；

（Ⅱ）求|AB|的长．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a．

（Ⅰ）当a＝4时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围．参 考 答 案

一、选择题：CDCAB CABAB BD

二、填空题：13．1 14．2 15． 16．2或4

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）fmin(x)＝－2，f(x)取得最小值时x的取值集合{x|x＝k(－，k∈Z}

（Ⅱ）a＝1，b＝2．

18．解：（Ⅰ）由已知，得2×2列联表：

会俄语

不会俄语

总计



男

10

6

16



女

6

8

14



总计

16

14

30



假设是否会俄语与性别无关．由已知数据，可得

K2＝≈1.1575＜2.706，

所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关．

（Ⅱ）会俄语的6名女记者分别为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D曾在俄罗斯工作过．从这6人任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种，其中2人都在俄罗斯工作过的是AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，所以抽出的女记者中，2人都在俄罗斯工作过的概率是P＝＝．

19．（Ⅰ）证明：略（Ⅱ）V＝．

令t＝m2＋1，则t≥1，所以h(t)＝＝＝，易证h(t)在[1，＋∞)上递减，所以hmax(t)＝h(1)＝，进而S的最大值为12c2×＝3，c2＝1，故椭圆C的方程为＋＝1．

21．解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝1时，f(x)＝x－lnx，f((x)＝1－＝．当0＜x＜1时，f((x)＜0，当x＞1时，f((x)＞0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)＝1，无极大值．（Ⅱ）f((x)＝(1－a)x＋a－＝＝ ＝．因为a≥2，所以0＜≤1．当＝1，即a＝2时，f((x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立；当0＜＜1，即a＞2时，由f((x)＜0，解得0＜x＜或x＞1；由f((x)＞0，解得＜x＜1．综上，当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递减，在(，1)上单调递增．

22．解：（Ⅰ）连结BM，BN，BQ，BP．因为B为小圆的圆心，所以BM＝BN．又因为AB为大圆的直径，所以BQ⊥MN，所以QM＝QN．（Ⅱ）因为AB为大圆的直径，所以∠APB＝90(，AP为圆B的切线，AP2＝AM·AN．由已知，AB＝4，PB＝1，AP2＝AB2－PB2＝15，又AM＝，所以15＝×(＋MN)，所以MN＝．

23．解：（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为(4，3)，曲线L的普通方程为y2＝2x，直线l的普通方程为y＝x－1．（Ⅱ）设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立得x2－4x＋1＝0，由韦达定理得x1＋x2＝4，x1x2＝1，由弦长公式得|BC|＝|x1－x2|＝2．

24．解：（Ⅰ）若a＝4，原不等式化为|2x＋1|－|x－1|≤2．当x＜－时，由已知，得－x－2≤2，解得－4≤x＜－；当－≤x≤1时，由已知，得3x≤2，解得－≤x≤；当x＞1时，由已知，得x≤0，此时x不存在．∴原不等式的解集为{x|－4≤x≤}．（Ⅱ）设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝

故f(x)∈[－，＋∞)，即f(x)的最小值为－．

所以f(x)＜log2a有解，则log2a≥－，解得a≥，

即a的取值范围是[，＋∞)．