宁夏银川一中2014届高三第四次月考试卷

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
为虚数单位)的虚部为

A．1 B. -1 C.
D. 0

2．设集合
，集合
为函数
的定义域，则

A．
B.
C.
D.

3．设
是等差数列
的前
项和，
,则

4．设
为实数，函数
的导函数为
，且
是偶函数， 则曲线：
在点
处的切线方程为

A.
B.

C.
D.

5．已知幂函数
的图像过点
，令
，
，记数列
的前
项和为
，则
=10时，
的值是

A. 110 B. 120 C. 130 D. 140

6．如图，在矩形
中，
点
为
的中点，

点
在边
上，若
，则
的值是

A.
B. 2 C. 0 D. 1

7．已知函数
（其中
）

的部分图象如右图所示，为了得到
的图象，

则只需将
的图象

A. 向右平移
个长度单位 B. 向右平移
个长度单位

C. 向左平移
个长度单位 D. 向左平移
个长度单位

8．若不等式x2＋ax＋1(0对于一切x(（0，
）成立，则a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．若
，
是第三象限的角，则
等于

A．
B.
C. -2 D. 2

10．函数
的图象大致为

A. B. C. D.

11．若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是

A．4 B.
C.2 D.

12． 定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有三个零点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

14．已知数列
的前
项和为
，某三角形三边之比为
，则该三角形最大角为_____________.

15．设函数
，观察：

，
，
，……

根据以上事实，由归纳推理可得：当
时，
.

16．已知定义在
上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
（其中
为
的前
项和）,则
.

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.(本小题满分12分）

已知数列
是公差不为0的等差数列，
，且
，
,
成等比数列.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设
，求数列
的前n项和Sn

18.（本小题满分12分）

已知向量
,函数
．

（1）求函数
的最小正周期
;

（2）已知
分别为
内角A，B，C的对边, 其中Ａ为锐角,
,且
,求Ａ，
和
的面积Ｓ．

19.（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列，
，数列
的前n项和是
，且
．

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 求证：数列
是等比数列；

(3) 记
，求
的前n项和
．

20．（本小题满分12分）

已知函数f (x)＝ex－ax－1.

(1)求f (x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f (x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

21. （本小题共１２分）

已知函数
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）设函数
，求函数
的单调区间；

（3）若在
（
）上存在一点
，使得


成立，求
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是
0的一条切线，切点为B，直线ADE，

CFD，CGE都是
O的割线，已知AC=AB.

(1)求证：FG//AC;

(2)若CG=1，CD=4，求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（1）求不等式
的解集;

（2）已知
，求证：
.

2014届高三第四次月考数学（理）参考答案

一、选择题

1-5 BDBAB 6-10 AACAC 11-12 DB

(文科)1-5 BDBDA 6-10 AAACC 11-12 AB

二、填空题

13. 4 14.
15.
16. 3

三、解答题

1７. （本小题满分12分）

解：（1）设数列
的公差为
，由
和
成等比数列，得

， 解得
，或
，……………………2分

当
时，
，与
成等比数列矛盾，舍去．

， ………………………4分

即数列
的通项公式
…………6分

（2）
=
，………………9分

.…………12分

1８. （本小题满分12分）

.解: （Ⅰ）

…………………………………………2分

……………4分

因为
,所以
…………………………………………6分

（Ⅱ）

因为
，所以
，
……………8分

则
，所以
，即

则
…………………………………………10分

从而
………………………12分

1９. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设
的公差为
，则：
，
，

∵
，
，∴
，?????? ∴
．　

∴
．?????????????????

（Ⅱ）当
时，
，由
，得
．???

当
时，
，
，

∴
，即
． ∴
．　　　

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列．???????

（Ⅲ）由（2）可知：
． 　

∴
．　

∴
．

∴
．

∴

∴
???????????????

20．（本小题满分12分）

解　f′(x)＝ex－a，

(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，

即f(x)在R上递增，

若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.

因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．

(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．

∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．

又∵－2

当a＝e3时f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，

即f(x)在(－2,3)上为减函数，

∴a≥e3.

故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．

２１. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，



1







—

0

+







极小







所以
在
处取得极小值1.

（Ⅱ）
，

①当
时，即
时，在
上
，在
上
，

所以
在
上单调递减，在
上单调递增；

②当
，即
时，在
上
，

所以，函数
在
上单调递增.

（III）在
上存在一点
，使得


成立，即

在
上存在一点
，使得
，即

函数
在
上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知

①即
，即
时，
在
上单调递减，

所以
的最小值为
，由
可得
，

因为
，所以
；

②当
，即
时，
在
上单调递增，

所以
最小值为
，由
可得
；

③当
，即
时， 可得
最小值为
，

因为
，所以，

故

此时，
不成立.

综上讨论可得所求
的范围是：
或
.

22．（本小题满分10分）

解：(Ⅰ)因为
为切线，
为割线，
，

又因为
，所以
．

所以
，又因为
，所以
∽
，

所以
，又因为
，所以
，

所以
．

(Ⅱ)由题意可得：
四点共圆，

.

∽
.

.

又

，

=4.

23. （本小题满分10分）

解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，

即x2＋(y－)2＝5.

(2)法一：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得(3－t)2＋(t)2＝5，

即t2－3t＋4＝0.

由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以

又直线l过点P(3，)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.

(2)法二：因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，

直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.

由得x2－3x＋2＝0.

解得：或 

不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，

又点P的坐标为(3，)，

故|PA|＋|PB|＝＋＝3.

24. （本小题满分10分）

（1）[-2，2]

(2)证明：

，当且仅当
时不等式取等号