沈阳二中2013——2014学年度上学期期中考试

高三（14届）数学（理科）试题

命题人： 高三数学组 审校人： 高三数学组

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为
,集合
,
,则
( )

A.
B.

C.
D.

2. 如果等差数列
中，
，那么
（ ）

A. 14 B. 21 C. 28 D. 35

3.设
,则（　　）

A．
B．
C．
D．

4.
的三个内角
所对的边分别为
，

（ ）

A.
B．
C．
D．

5.关于
的方程
的解的个数为（ ）

A. 1
B. 2 C. 3
D. 4

6. 将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图象,则
的一个可能取值为（ ）[来源:Zxxk.Com]

A.
B.
C. 0 D.

7.过点
作圆
的两条切线,切点分别为
,
,则直线
的方程为（　　）

A．
B．
C．
D．

8. 设函数
，则下列结论错误的是（ ）

A. D（x）的值域为{0,1} B. D（x）是偶函数

C. D（x）不是周期函数 D. D（x）不是单调函数

9.双曲线
的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是 （ ）

A. (－∞，0) B.(1，+∞) C.(－∞，0)∪(1，+∞) D.(－∞，－1)∪(1，+∞)

10.已知两点
，
，点P为坐标平面内一动点，且
，则动点
到点
的距离的最小值为（ ）

A.2 B.3 C. 4 D. 6

11.若实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.
的三个内角
所对的边分别为
，给出下列三个叙述：

①

②

③

以上三个叙述中能作为“
是等边三角形”的充分必要条件的个数为（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

1
3.已知
是夹角为
的两个单位向量，
若
，则k的值为
.

14. 抛物线
在
处的切线与两坐标轴围成三角形区域为
(包含三
角形内部与边界).若点
是区域
内的任意一点,则
的取值范围是__________.

15. 已知
是自然对数的底数，若函数
的图象始终在
轴的上方，则实数
的取值范围

16. 在正项
等比数列
中，
，
，则满足
的最大正整数
的值为

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.
（本小题满分10分）

在
中，内角
所对的边长分别为
，
，
，
.

求sinC和b的值.

18. （本小题满分12分）

已知等差数列
满足
，
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前n项和.

19. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，直线l与抛物线
相交于不同的两点A，B.

（I）如果直线l过抛物线的焦点，求
的值；

（II）如果
，证明直
线l必过一定点，并求出该定点坐标．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

20. （本小题满分12分）

小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从
(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为
.若
就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

（I）求小波参加学校合唱团的概率；

（II）求
的分布列和数学期望.

21. （本小题满分12分）

如图，在
轴上方有一段曲线弧
，其端点
、
在
轴上（但不属于
），对
上任一点
及点
，
，满足：
．直线
，
分别交直线
于
，
两点．

（Ⅰ）
求曲线弧
的方程；

（Ⅱ）求
的最小值（用
表示）；

22. （本小题满分12分）

已知函数
，
.

(I) 讨论函数
的单调性；

(Ⅱ)当
时，
≤
恒成立，求
的取
值范围．

[来源:学.科.网]

沈阳二中2013——2014学年度上学期期中考试[来源:学科网ZXXK]

高三（14届）数学（理科
）试题参考答案

一、选择题

1—5 DCDAB 6—10 BBCCB 11—12 CC

二、填空题

13.
14．
15.
16. 12

三、解答题

17.解：
，由正弦定理可得

……5分

由
，得
，由
，故
.

……10分

18. 解：（I）设等差数列
的公差为d，由已知条件可得

解得
故数列
的通项公式为
……6分

（II）设数列
，即
，

所以，当
时，

所以
综上，数列
……12分

19解：（I）由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，

设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x中消去x得，

y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝
4t，y1y2＝－4，

＝x1x2＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.……6分

（II）设l：x＝ty＋b，代入方程y2＝4x消去x得，

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.

∵
＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b

＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.

∴直线l过定点(2,0)．……12分

20. 解：（I）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有
种,
时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为
. ……4分

（II）两向量数量积
的所有可能取值为

当
时，

当
时,有2种情形

当
时,有8种情形

当
时,有10种情形
.……8分

所以
的分布列为:























 ……10分

. ……12分

21. 解：（I）由椭圆的定义，曲线
是以
，
为焦点的半椭圆，

.

∴
的方程为
. ……4分

（注：不写区间“
”扣1分）

（II）由（I）知，曲线
的方程为
，设
，

则有
， 即
①

又
，
，从而直线
的方程为

AP：
； BP：
……6分

令
得
，
的纵坐标分别为

；
.

∴
② 将①代入②， 得
.……8分

∴
.

当且仅当
，即

时，取等号．

即
的最小值是
.……12分

22.解： (I)
，
在
单调递增

，
在
单调递增，
单调递减……6分

(Ⅱ)等价于
在
恒成立，

[来源:Zxxk.Com]

当
时，
，所以
在
单调递增，
，与题意矛盾

当
时，
恒成立，所以
在
单调递减，所以

当
时，
，所以
在
单调递增，
，与题意矛盾

综上所述：
……12分