肃南县第一中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，
，则
所含的元素个数为( )

A. O B. 1 C. 2 D. 3

2．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若
＝－2
＋λ
，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知
为等差数列，若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．对于平面
，
，
和直线
，
，
，
，下列命题中真命题是 （ ）

A.若
,则
；

B.若
则
；

C.若
,则
；

D.若
,则
.

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （ ）



A．4＋2
B．4＋
C．4＋2
D．4＋

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出
的值是 （ ）



A.
B.
C.
D.

7．已知复数

是虚数单位，则复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

8．满足线性约束条件
的目标函数
的最大值是

A．
B．
C．
D．

9．设
，
，
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

10．若直角坐标平面内不同的两点
满足条件：①
都在函数
的图像上

②
关于原点对称，则称点对
是函数
的一对“友好点对”（注：点对
与
看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对．

A．
B．
C．
D．

11．记椭圆
围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则
Mn=（　　）

A． 0 B．
C． 2 D． 2

12．设
，
是双曲线
的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点
，使
（
为原点）且
，则双曲线的离心率为（ ）．

A．
　　　　B．
　　　　 C．
　　　　 D．

第II卷（非选择题，共100分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选做题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．抛物线
在
处的切线与两坐标轴围成三角形区域为
(包含三角形内部与边界).若点
是区域
内的任意一点,则
的取值范围是　　　　．

14．在数列{an}中，an＝4n－
，a1＋a2＋…＋an＝An2＋Bn，n∈N＋，其中A，B为常数，则AB＝__________.

15. 在平面直角坐标系
中，设定点
，
是函数
图象上一动点.

若点
之间的最短距离为
，则实数
值为_________.

16．设常数
,若
的二项展开式中
项的系数为
,则
.

三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本小題满分12分）

设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
面积的最大值．

18．(本小題满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．



(本小題满分12分）

某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩分组如下：第一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：



（1）求测试成绩在[80，85）内的频率；

（2）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的的概率．

20．(本小題满分12分）

如图，椭圆
：
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过
作与
轴垂直的直线
与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过点
的直线与椭圆
相交于两点
，设
为椭圆
上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数
的取值范围．



21.(本小題满分12分）

已知

（1）求函数
在[t,t+2](t>0)上的最小值

（2）对一切
恒成立，求实数a的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC.



（Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；

（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求
的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线
（
为参数）与曲线C交于
，
两点，与
轴交于
，求
的值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）求f(x)≤6 的解集

（2）若f(x)≥m 对任意x∈R恒成立，求m的范围。







9．D

【解析】

试题分析：一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.

由对数的性质知：
，
，
。又
，

所以
.

解答本题目易进入作差比较的误区；其次是易弄错
与
的大小.

考点：对数函数的单调性及对数运算性质，以及比较数的大小的方法.

10．C

角函数知识的灵活运用

12．C

【解析】

（2）∵
，
． ∴

∴
，当且仅当
时取“=” ， ∴三角形的面积
．

∴三角形面积的最大值为
．

考点：正余项定理、两角和公式、三角形面积公式.

18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面平行的性质.本题用这两种方法都行；

（Ⅱ）首先应考虑作出平面
截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为
.

本题也可用向量解决.

试题解析：（Ⅰ）法一:连结
，交
于
，连结
，则
，从而
平面
.

法二:取
的中点
,连结
,易得平面

,从而
平面
.

（Ⅱ）
的中点
,连结
、
,易得平面
就是平面
,

又
平面
,所以
,所以
就是该二面角的平面角.

.

考点：立体几何中线面平行的证明及二面角的计算.

19．（1）
；（2）
．

【解析】

试题分析：（1）由所有频率的和为
，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数。用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率．

试题解析：（１）测试成绩在[80，85）内的频率为：
2分

3分

（２）第三组的人数等于
,第四组的人数等于
，

第五组的人数等于
， 5分

分组抽样各组的人数为第三组３人，第四组２人，第五组１人. 　　 6分

设第三组抽到的３人为
，第四组抽到的２人为
,第五组抽到的１人为
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

这6名同学中随机选取2名的可能情况有１５种，如下：

. 10分

设“第四组２名同学至少有一名同学被抽中”为事件
,事件
包含的事件个数有９种，即：

,
,
,

,
. 11分

所以, 事件
的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为
．　　　　　　　　　　　 12分

考点：1、考查频率分布；2、频率分布直方图；3、古典概型．

20．（Ⅰ）椭圆的方程为
． （Ⅱ）实数
取值范围为
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点
．

所以椭圆
的方程为：
．

解方程组
得C（1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴
，
， ∴
． 2分

因此，
，解得
并推得
．

故椭圆的方程为
． 4分

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
. 6分

，
.

∵
＜
，∴
，

∴
∴
，

∴
，∴
.∴
， 8分

∵
，∴
，

，
.

∵点
在椭圆上，∴
，

∴
∴
， 10分

∴
或
，

∴实数
取值范围为
. 12分

考点：本题主要考椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，抛物线的几何性质，直线椭圆的位置关系，平面向量的线性运算。

点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了抛物线及椭圆的几何性质，建立a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到t的函数式，通过确定函数的值域，达到确定实数
取值范围的目的。利用函数思想解题，是一道好例。

21.解：（1）
当

单调递减

当

单调递增 ∵

∴1°
即
时

2°
时
是递增的 ∴

故

（2）
则
设

则

递增

递减

∴
故所求a的范围是（-∞。4]

22．

（I）证得
∽

∴

根据
，得到
。

（II）
。

【解析】

试题分析：

（I）∵
，

∴
，

又∵
，∴
，

∴
∽

∴

又∵
，

∴
5分

（II）
，
，

是⊙
的切线，
，
10分

考点：相交弦定理、切割定理、三角形相似。

点评：中档题，作为选考内容，难度不大，主要涉及圆与三角形相似的基础知识。

23．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用直角坐标与极坐标互化公式, （Ⅱ）直线参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长.

试题解析：（1）

则
的直角坐标方程为
，即
．5分

（2）将
的参数方程代入曲线
的直角坐标方程，得
，

设点
对应的参数分别为
，则
7分

． 10分

考点：直角坐标与极坐标互化公式, 直线参数方程中参数的几何意义

24．（10分）解：（1）
≤6

不等式等价于：
或
或

等价于
或
或

∴不等式的解集为[-2，10] （5分）

（2）由（1）知

容易求得函数最小值为-3 ∵f(x)≥m 对任意x∈R恒成立 ∴m≤-3 （10分）