一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合A={﹣1，0,1}，B={x|1≤2x＜4}，则A
∩B等于（　　）

　A．{0，1} B． {1} C． {﹣1，1} D．{﹣1，0，1}

2．若复数
是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（　　）

　A．2 B． -2 C． 1 D． ﹣1

3．给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤
．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，假命题的个数是（　　）

A. 3 B． 2 C． 1 D． 0[来源:学.科.网]

4．设x,y满足约束条件
则目标函数z=x+y的最大值是[来源:学科（　　）网]

A. 3
B． 4 C． 6 D．8

5．已知不等式ax2+bx+c＞
0的解集为{x|2＜x＜4}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（　　）

　 A． {x|x＞
} B． {x|x
} C． {x|

} D． {x|x

}

6．已知两不共线向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（　　）

　 A． |
|=|
|=1 B． （
+
）⊥（
﹣
）

　 C．
与
的夹角等于α﹣β D．
与
在
+
方向上的投影相等

7. A∈平面α。AB=5，AC=
,若AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成450角，则BC距离的范围（　　　）　

A.
B.
C.
D.
∪

8.函数f（x）的图象如图，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（　　）[来源:学_科_网]

A． 0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）

B． 0＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）

C． 0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）

D． 0＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）

9.偶函数
在
上为减函数，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数
,则下列说法不正确的是 （ ）

A.当
时，函数
有零点

B.若函数
有零点，则

C.存在
，函数
有唯一的零点[来源:学。科。网]

D.若函数
有唯一的零点，则

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．（1﹣x）（1+x）6的展开式中，含x项的系数为　　　　　　．

12．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是　 　．

13.数列{an}为等差数列，且a3+a4+a5=9， S7= ．

14. A为非空集合，B={1，2}，f为A到B的映射，f：x→x2,集合A有多少种不同情况

15.向量a、b是单位正交基底,c=xa+yb,x,y∈R,(a+2b) ?c=-4,

(2a-b) ?c=7,则x+y=

16. y=sin (ωx+?) ω>0与y=a函数图象相交有相邻三点,从左到右为P、Q、R，若PQ=3PR，则a的值　　　　　。

17. 若
（其中
为整数），则称
为离实数
最近的整数，记作
，即
．设集合
，
，其中
，若集合A∩B的元素恰有三个,则
的取值范围为　　 ▲ 　．

三、解答题：本大题有5小题，共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+??）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g
（x）=cos3x，h（x）=f（x）?g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

19.（14分）如图所示,机器人海宝按照以下程序运行

从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止

每次只向右或向下按路线运行

③在每个路口向
下的概率

④到达P时只向下，到达Q点只向右

（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率

求海宝过点从A经过N到点C的概率

（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望

20．（14分）已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣1，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足[来源:Z,xx,k.Com]

Tn=1﹣bn

（1）求{bn}的通项公式；

（2）在{an}中是否存在使得
是{bn}中的项，若存在，请写出满足题意的其中一项；若不存在，请说明理由．

w.w.w.zxxk.c.o.m

21. （15分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分
别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.zxxk.c.o.m

22．（15分）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈R）

（I）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．

（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；

（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．

2013学年第一学期十校联合体高三期中联考

理科数学试卷参考答案

18.

解：（1）∵T=4（
﹣
）=
，

∴ω=
=3，

∴f（x）=2sin（3x+?）．

∵点（
，2）在图象上，

∴2sin（3×
+?）=2，即sin（?+
）=1，[来源:学科网]

∴?+
=2kπ+
（k∈Z），即?=2kπ+
．

故f（x）=2sin（3x+
）． （7分）

（2）h（x）=2sin（3x+
）cos3x

=2（sin3xcos
+cos3xsin
）cos3x

=
（six3xcos3x+cos23x）

=

（sin6x+cos6x+1）

=sin（6x+
）+
．

由2kπ﹣
≤6x+
≤2kπ+
（
k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[
﹣
，
+
]（k∈Z）． （14分）





19. 向下概率为
，则向下概率为1-
=

从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合其概率为

从A过M到C，概率为
（7分）

(2)

P(X=1)=(
)3+
(
)2
×
=
=

P(X=2)=
(
)2(
)2=

P(X=3)= (
)3+
(
)2
×
=

Ex=
+
×2+
×3

=
=
（14分）

20.

解：（1）当n=1时，∵b1
=T1=1﹣b1，∴b1=
…（2分）

当n≥2时，∵Tn=1﹣bn，∴Tn﹣1=1﹣bn﹣1，

两式相减得：bn=bn﹣1﹣bn，即：b
n=
bn﹣1…（6分）

故{bn}为首项和公比均为
的等比数列，

∴bn=
…（8分）

（2）设{an}中第m项am满足题意，即
，即2m﹣1+25=2n

所以m=2n﹣1﹣12（m∈N*，n∈N*），取n=5，则m=4，a4=7（其它形如m=2n﹣1﹣12（m∈N*，n∈N*）的数均可）…（14分）



21.

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
，由已知得

，w.w.w.zxxk.c.o.m

所以椭圆
的标准方程为
w.w.w.zxxk.c.o.m



（5分）

（Ⅱ）设
，其中
。由已知
及点
在椭圆
上可得

。

整理得
，其中
。 （7分）

（i）
时。化简得
w.w.w.zxxk.c.o.m

所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于
轴的线段。（9分）

（ii）
时，方程变形为
，其中

当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在
轴上的双曲线满足
的部分。 （11分）

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆满足
的
部分； （13分）

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆； （15分）

22.



（I）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax2+2＞0

①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）递增区间是（0，+∞）；

②当a＜0时，由2ax2+2＞0可得
＜x＜

x＞0，∴f（x）递增区间是（0，
），递减区间为
；（6分）

（Ⅱ）（i）解：设F（x）=f（1+x）+f（1﹣x）=2ln（1+x）+2ln（1﹣x）+2x2,,则F’（x）=

∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上为减函数

∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴实数m的取值范围为[0，+∞）； （10分）

（ii）证明：∵f（x1）+f（x2）=0，

∴21nx1+x12﹣1+21nx2+x22﹣1=0

∴2lnx1x2+（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2=0

∴（x1+x2）2=2x1x2﹣2lnx1x2+2[来源:学科网ZXXK]

设t=x1x2，则t＞0，g（t）=2t﹣2lnt+2，∴g′（t）=

令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

∴g（t）min=g（1）=4，∴（x1+x2）2＞4，∴x1+x2＞2． （15分）







命题人 虹桥中学 万里远 13868719229



 审核人 温十五中 徐丽娜 13868821967