泉州第一中学2014届高三上学期期中考试

数学（文）试题

（考试时间120分钟，总分150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上

1.命题“对任意
,都有
”的否定为 （　　）

A．对任意
,使得
B．不存在
,使得

C．存在
,都有
D．存在
,都有

2. 已知集合
，则
= （ ）

A.
B.
C.
D.

3.一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．不确定

4．已知直线

平面
，直线
∥平面
，则“
”是“
”的 ( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件

A． B． C． D．

5.在锐角
中，角
所对的边长分别为
.若
( )

A.
B.
C.
D.

6．已知向量

,

,且
，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

7.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f ((x)可能为 ( )

f(x)

8．已知函数
，设
，则
是 （ ）

A. 奇函数，在
上单调递减 B. 奇函数，在
上单调递增

C. 偶函数，在
上递减，在
上递增 D. 偶函数，在
上递增，在
上递减

9．函数
的零点所在的区间为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知△
的三边长成公差为
的等差数列，且最大角的正弦值为
，则这个三角形的周长是（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．8 B．
C．
D．

12．设定义在R上的函数
是最小正周期为
的偶函数，
的导函数，当
时，
；当
且
时，
.则方程
在
上的根的个数为（ ）

A． 2 B．5 C．8 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相位置．

13．计算：
____________.

14.等比数列{an}的前n项和为Sn，若
，则公比q=______

15.如右图，正方体
的棱长为1，
分别为线段
上的点，则三棱锥
的体积为____________.

16.已知函数
若
，则实数
的取值范围是__________.

三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）：

17．（本小题满分12分）

已知
为数列
的前
项和，且
．

（Ⅰ）求
和
；

（Ⅱ）若
，求数列
的前n项和
．

18. （本小题满分12分）

如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB，PC的中点，

(1) 求直线MN和AD所成角 ;(2) 求证：MN⊥平面PCD.

19. （本小题满分12分）

已知
中,角
的对边分别为
,
,向量
,

,且
.

(Ⅰ)求
的大小;

(Ⅱ)当
取得最大值时,求角
的大小和
的面积.

20．（本小题满分12分）

如图，矩形
中，
，
．
，
分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

21．（本小题满分12分）

若
的图像关于直线
对称，其中
.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）将
的图像向左平移
个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的
的图像；若函数
的图像与
的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求
的值.

22．（本小题满分14分）

已知
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在
处有极值，求
的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数
，使
在区间
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤）：

17．（本小题满分12分）

已知
为数列
的前
项和，且
．

（Ⅰ）求
和
；

（Ⅱ）若
，求数列
的前n项和
．

-------12分

18.如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB，PC的中点，

（Ⅰ）求直线MN和AD所成角 ;（Ⅱ）求证：MN⊥平面PCD.

证明：（Ⅰ）取PD中点E，连结AE和NE

因为M、N分别是AB，PC的中点，

△PCD中，NE//CD//AB,且NE=AM

所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN//AＥ-------３分

所以直线MN和AD所成角即直线ＡＥ和AD所成角

PA⊥平面ABCD，所以PA⊥ＡＤ，△PAD是等腰三角形

直线ＡＥ和AD所成角为４５度　　　　　　　　　　-------6分

（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以面PAD⊥平面ABCD且交于AD，

又因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD　　　　　　　　　　　　　

所以CD⊥平面PAD ,所以CD⊥AE　　　　　　　　　　　　　　-------８分

又因为△PAD是等腰三角形,所以PA=AD，所以AE⊥PD

所以AE⊥面PCD，又因为 MN//AＥ

所以MN⊥平面PCD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -------12分

即
,因为
,所以

所以
-------5分

(2)由
,

故

由
,故
最大值时,
-------9分

由正弦定理,
,得

故
-------12分

20．（本小题满分12分）

如图，矩形
中，
，
．
，
分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

20. （Ⅰ）证明：因为四边形
，
都是矩形， 所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分

因为
平面
，所以
∥平面
．4分

（Ⅱ）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
， 所以
平面
…5分

所以
．

又
， 所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
， 所以
． …………8分

（Ⅲ）解：设
，则
，其中
．由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为
．

所以
．

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． …………12分

21．（本小题满分12分）

若
的图像关于直线
对称，其中
.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）将
的图像向左平移
个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的
的图像；若函数
的图像与
的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求
的值.

21.解：（Ⅰ）∵
的图像关于直线
对称，

∴
，解得
，

∵
∴
，∴
∴

∴
…………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）将
和图像向左平移
个单位后,得到

,再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后,得到

………………………………………………………………………………………9分

函数
的图像与
的图像有三个交点坐标分别为

,

则由已知结合图像的对称性,有
,……………………………………………………11分

解得

∴
…………………………………………………………………………………12分

22．（本小题满分14分）

已知
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在
处有极值，求
的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数
，使
在区间
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

22.解:（Ⅰ）由已知得
的定义域为
，

因为
，所以

当
时，
，所以
，

因为
，所以
……………………………………………………………2分

所以曲线
在点
处的切线方程为

.……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）因为
处有极值，所以
，

由（Ⅰ）知
所以

经检验，
处有极值. ………………………………………………………………6分

所以
解得
；

因为
的定义哉为
，所以
的解集为
，

即
的单调递增区间为
.…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）假设存在实数a，使
有最小值3，

①当
时，因为
，

所以
在
上单调递减，

，解得
（舍去）…………………………………………………10分

②当
上单调递减，在
上单调递增，

，满足条件. ………………………………………………12分

③当
，

所以
上单调递减，
，

解得
，舍去.

综上，存在实数
，使得当
有 最小值3. …………………………………14分