2013～2014学年度上学期期中考试

高三年级数学（理科）试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．平面向量
与
的夹角为60°，
则
（ ）

（A）
（B）
（C）4 （D）12

2．若集合
则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．已知平面向量
的夹角为
且
，在
中，
，

，
为
中点，则
( )

A.2 B.4 C.6 D.8

4．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），

则该几何体的表面积为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5．已知等差数列
中，
，记
，S13=( )

A．78 B．68 C．56 D．52

6．已知双曲线

的左、右焦点分别为
，以
为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在△
中,角
所对的边分别为
,且满足
,则
的最大值是( )

A．
B.
C.
D. 2

8．若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是（ ）

（A）4 （B）
（C）2 （D）

9. 在椭圆
中，
分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得
，则该椭圆离心率的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

10．已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2
且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（　　）

A．
B.
C.
D.

11．已知定义在R上的函数
对任意的
都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则
取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12．对于定义域为
的函数
和常数
，若对任意正实数
，
使得
恒成立，则称函数
为“敛
函数”．现给出如下函数：

①
； ②
；③
； ④
.

其中为“敛1函数”的有

A．①② B．③④ C． ②③④ D．①②③

Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13. 过点
的直线与圆
截得的弦长为
，则该直线的方程为 。

14已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为　 　．

15.如果直线
和函数
的图象恒过同一

个定点，且该定点始终落在圆
的内部或圆上，那么
的取值范围

_____________.

16．已知函数
定义在R上的奇函数，当
时，
，给出下列命题：

①当
时，
②函数
有2个零点

③
的解集为
④
，都有

其中正确的命题是

三、解答题（共7个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17．如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于
，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设
,求
面积的最大值及此时
的值。

18. 数列
的前
项和为
，且
是
和
的等差中项，等差数列
满足
，
.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，证明：
.

19．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求点B到平面MAC的距离．

20．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，且椭圆C上一点
到点Q
的距离最大值为4，过点
的直线交椭圆
于点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
时，求实数
的取值范围.



21．已知函数f（x）=alnx+
（a≠0）在（0，
）内有极值．

（I）求实数a的取值范围；

（II）若x1∈（0，
），x2∈（2，+∞）且a∈[
，2]时，求证：f（x2）﹣f（x1）≥ln2+
．

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22. 如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.

（Ⅰ）求AM的长；

（Ⅱ）求sin∠ANC．

23.已知函数
。

（1）若
的解集为
，求实数
的值。

（2）当
且
时，解关于
的不等式
。

2013～2014学年度上学期期中考试

高三年级数学（理科）答案

一、选择题

BAAAD CADBC AC

11. 由
得
，因此
，函数周期为2.因函数
至少6个零点，可转化成
与
两函数图象交点至少有6个，需对底数
进行分类讨论.当
时：得
，即
.当
时：得
，即
.所以
取值范围是
.

12. ①
；由于函数递增，那么不会存在一个正数
，满足不等式。

②
；当x>0,c=2,那么存在x，满足题意，成立。

③
；对于1

④
.=1-
，x>1,c=3，则可知满足题意。故选C.

二、填空题

13、
14、1 15、
16. ③④

14. 由题意，设C（x0，y0），则⊙C的方程（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+（y0﹣p）2．

把y=0和x02=2py0代入整理得x2﹣2x0x+x02+p2=0．

设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0﹣p，x2=x0+p．∴|MN|=|x1﹣x2|=2p．

∵|CM|=|CN|=
=

∴
=1﹣
∴﹣1≤cos∠MCN＜1，

∵0＜∠MCN＜π∴0＜sin∠MCN≤1，

∴sin∠MCN的最大值为1故答案为：1

16. 设
，则
，故
，所以
，故①错；因为
定义在R上的奇函数，所以
，又
，
，故
有
个零点，②错；当
时，令
，解得
，当
时，令

解得
，综上
的解集为
，③正确；当
时，
，
在
处取最小值为
，当
时，
，
在
处取最大值为
，由此可知函数
在定义域上的最小值为
，最大值为
，而
，所以对任意的
，都有
，④正确

三、解答题

17、

18、（1）∵
是
和
的等差中项，∴

当
时，
，∴

当
时，
，

∴
，即
3分

∴数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，

∴
，
5分

设
的公差为
，
，
，∴

∴
6分

（2）
7分

∴
9分

∵
,∴
10分

∴数列
是一个递增数列 ∴
.

综上所述，
12分

19、解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．

作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，
．

在Rt△AMN中，
．

在Rt△NCH中，
．

在Rt△MNH中，∵
，∴
．

故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为
．（8分）

（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，

∴点N到平面MAC的距离为
．

∵点N是线段BC的中点，

∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为
．（12分）

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P（0，0，z），则
．
．

∵
，

且z＞0，∴
，得z=1，∴
．

设平面MAC的一个法向量为
=（x，y，1），则由

得
得
∴
．

平面ABC的一个法向量为
．
．

显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为
．（8分）

（3）点B到平面MAC的距离
．（12分）

20、解析：（Ⅰ）∵
∴
（1分）

则椭圆方程为
即

设
则

当
时，
有最大值为

解得
∴
，椭圆方程是
（4分）

（Ⅱ）设
方程为

由
整理得
.

由
，得
.

（6分）

∴
则
,

由点P在椭圆上，得
化简得
① （8分）

又由
即
将
，
代入得

化简，得

则
, ∴
② （10分）

由①，得

联立②，解得
∴
或
（12分）

21．解：（I）由f（x）=alnx+
（a≠0），得：
，

∵a≠0，令
，∴g（0）=1＞0．

令
或
， 则0＜a＜2．

(II）由（I）得：
，

设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，

则
，得
．

当x∈（0，α）和（β，+∞）时，
，函数f（x）单调递增；

当x∈
和（2，β）时，
，函数f（x）单调递减，

则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），

则f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ
﹣alnα﹣

=
=
（利用
）

令
，x＞2则
，

则函数h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+
，

∴
，

∵
，则
，

∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+
．

22、（Ⅰ）连接
，则
，因为四边形
是平行四边形，所以
∥
，因为
是
的切线，所以
，可得
，又因为
是
的中点，所以
，得
，故
. （5分）

（Ⅱ）作
于
点，则
，由（Ⅰ）可知
，

故
. （10分）

23.解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，

所以
解之得
为所求． 4分

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，

所以

当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；

当t＞0时，不等式

解得x＜2﹣2t或
或x∈?，即
；

综上，当t=0时，原不等式的解集为R，

当t＞0时，原不等式的解集为
． 10分