命题学校：定南中

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1. 已知集合
,下列结论成立的是（ 　　）

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域为 （ 　　）

A.
B、
C、
D、
∪

3.下列选项中，说法正确的是 A.命题“若
，则
”的逆命题是真命题；（ 　　）

B.
命题“
”的否定是“
”;

C.命题“
”为真命题，则命题
均为真命题；

D. 设
是向量，命题“若
”的否命题是真命题.

4. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的

体积为
，则h的值为（ 　　）

A．
B．

C．
D．

5. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为 （　 　）

A．2 B．4

C．8 D．16

6. 已知a∈（
，
），sinα=
，则tan2α= （ 　　）

A.
B.
C.
D.

7. 如图，平行四边形ABCD中，
，点M在AB边上，且
等于 （ 　　）

A.
B.
C.
D.1

8. 函数
（其中

）的图象如图所示，为了得到
的图像，则只要将
的图像（ ）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

9、设
为坐标原点，第一象限内的点
的坐标满足约束条件
，
，若
的最大值为40，则
的最小值为（ ）

（A）
（B）
（C）1 （D）4

10. 如图，线段
=8，点
在线段
上，且
=2，
为线段
上一动点，点
绕点
旋转后与点
绕点
旋转后重合于点

.设
=
，

的面积为
.则
的最大值为（　　）．

A.
　　　 B． 2　 　

C．3 　　　 D．

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置．)

11. 在平面直角坐标系
中，由直线
与曲线
围成的封闭图形的面积是

12.
,则

13.若双曲线
的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛物线
的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为____ __.

14.根据下面一组等式

S1=1

S2=2+3=5

S3=4+5+6=1 5

S4=7+8+9+1 0=3
4

S5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65

S6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1

S7=22+23+24+25+26+27+28=1 75

… … … … … … … … [来源:学_科_网Z_X_X_K]

可得

三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）

15．(1)（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
．则直线与曲线C的位置关系为

(2)（选修4—5 不等式选讲）不等式
对任意实数
恒成立,则实数
的取值范围是____________.

四、解答题：

16、（本小题满分12分）已知向量
，
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）在
中，角A，B，C的对边分别是
若
，b=1，
的面积为
，求
的值．

17、（本小题满分12分）袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.

（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；

（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为
，求
的分布列及数学期望E
.

18、（本小题满分12分）如图，已知直角梯形
所在的平面垂直于平面
，
，
，
．

（Ⅰ）点
是直线
中点，证明
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

19、（本小题满分12分）已知数列
满足
，
（
且
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）令
，记数列
的前
项和为
，

若
恒为一个与
无关的常数
，试求常数
和
.

20、（本小题满分13分）已知抛物线
的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C过点
.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点

，过点F2作直线
与椭圆C交于A,B两点，且
，若
的取值范
围.

21、（本小题满分14分）已知
.

（Ⅰ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）对一切
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立.

2013---
2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考

高三数学（理科）试卷答案

17、解：解: （Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为

………2分

从8个球中摸出2个小球的种数为
………………3分

故所求概率为
………………………………6分

（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：

一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，

共有

种 ………………………………7分

一种是有2个红球，1个其它颜色球，

共有
种， ………………………………8分

一种是所摸得的3小球均为红球，共有
种不同摸法，[来源:学科网ZXXK]

故符合条件的不同摸法共有
种. ………………………………10分

由题意知，随机变量
的取值为
，
，
.其分布列为：

1

2

3








[来源:学,科,网]







……………………12分

18、（Ⅰ）证明：

取
的中点
连结
，则

，
， 取

的中点
，连结
，

∵
且

，∴△
是正三角形，∴
．

∴四边形
为矩形，∴
．………………4分

又∵
，

∴
且
，四边形
是平行四边形．

∴
，而
平面
，
平面
，∴
平面
．……6分

（Ⅱ）（法1）过
作
的平行线
，过
作
的垂线交
于
，连结
，∵
，∴
，

是平面
与平面
所成二面角的棱．……8分

∵平面
平面
，
，∴
平面
，

又∵
平面
，
∴
平面
，∴
，

∴
是所求二面角的平面角．………………10分

设
，则
，
，

∴
，

∴
． ………12分

（法2）∵
，平面
平面
，

∴以点
为原点，直线
为
轴，直线
为
轴，建立空间直角坐标系
，则
轴在平面
内（如图）．设
，由已知，得
，
，
．

∴
，
，…………………8分

设平面
的法向量为
，

则
且
，

∴
∴

解之得

取
，得平面
的一个法向量为
. ………10分

又∵平面
的一个法向量为
． ……10分

．………12分

19、（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）
由题
……①

……②

由①
②得：
，即
…………………………………………3分

当
时，
，
，

,

所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列

故
（
）………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
，

，

是以
为首项，以
为公差的等差数列，…………………8分

……………………………………………10分

恒为一个与
无关的常数
，

解之得：
，
………………………………………………………………12分

20、解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，由题意得
，[来源:学科网]

设椭圆
的标准方程为
，

则
③

④

将④代入③，解得
或
（舍去）

所以

故椭圆
的标准方程为
……………………4分

（Ⅱ）方法一：

容易验证直线
的斜率不为0，设直线
的方程为

将直线
的方程代入
中得：
.…………………6分

设
，
则由根与系数的关系，

可得：
⑤

⑥ …………………7分

因为
，所以
，且
.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以
……………………………………………………………10分

因为
，所以
，

又
，所以
，

故

，

令
，所以
所以
，即
，

所以
.

而
，所以
.

所以
. ………………………………………………13分

方法二：

1）当直线
的斜率不存在时，即
时，
，
，

又

，所以

…………6分

2）当直线
的斜率存在时，即
时，设直线
的方程为

由
得

设
，显然
，则由根与系数的关系，

可得：
，
……………………7分

⑤

⑥

因为
，所以
，且
.

将⑤式平方除以⑥式得：

由
得
即

故
，解得
………………………………………10分

因为
，

所以
，

又
，

故

…………………11分

令
，因为
所以
，即
，

所以

.

所以
……………………12分

综上所述：
. ……………………13分

21、【解析】（Ⅰ）
.

当
单调递减，当
单调递增 ……2分

，即
时，
；………………4分[来源:学|科|网Z|X|X|K]

②
，即
时，
在
上单调递增，

．

所以
. ……………………………………6分

（Ⅱ）
，则
，

设
，则
，………………8分

①
单调递减，②
单调递增，

所以
，对一切
恒成立，

所以
.
………………10分

（Ⅲ）问题等价于证明
，

由（Ⅰ）可知
的最小值是
，当且仅当
时取到.…12分

设
，则
，易知

，当且仅当
时取到，

从而对一切
，都有
成立. ………………14分