命题学校：定南中学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分。考试时间120分钟

第Ⅰ卷

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

⒈已知全集
，集合
，
，那么集合
等于（ ）

A
B
C．
D．

2．若
，其中
，
是虚数单位，则
（ ）

A．0 B．2 C．
D．5

3.设
，则 “直线
与直线
平行”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．设

为等比数列
的前
项和，已知
，
，则公比
（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．已知函数
，下面结论错误的是（ ）

A．函数
的最小正周期为
B．函数
是偶函数

C．函数
的图象关于直线
对称 D．函数
在区间
上是增函数

6．设曲线
在点
处的切线的斜率为
，则函数
的部分图象可以为（ ）

7. 若两个非零向量
，
满足
，则向
量
与
的夹角为（ ）[来源:Z,xx,k.Com]

A．
B．
C．

D．

8.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大
的是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9.设
,
分别为双曲线

的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点
,满足
,且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B .
C.
D.

10．给出定义:若
(其中
为整数),则
叫做离实数
最近的整数,记作
,即
.在此基础上给出下列关于函数
的四个命题:

①
的定义域是

,值域是
;②点
是
的图像的对称中心,其中
;③函数
的最小正周期为1;④ 函数
在
上是增函数.则上述命题中真命题的序号是 （ ）

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④

第Ⅱ卷

注意事项：须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知向量
，
, 若
//
, 则实数
等于

12．在区间
上随机取一个数
，使得函数
有意义的概率为

13．运行右面框图输出的S是254，则①应为

14．实数
满足不等式组
，则
的取值范围是 .

15. 对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_________

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：

科研单位

相关人数

抽取人数



A

16





B

12

3



C

8





（1）确定
与
的值；

（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率.

17. (本小题满分12分)已知函数
，若
的最大值为1

（1）求
的值，并求
的单调递增区间;

（2）在
中，角
、
、
的对边
、
、
,若
，且
，试判断三角形的形状.

18. (本小题满分12分)已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，ABEC＝2，AE＝BE＝，O为AB的中点．

(1)求证：EO⊥平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离．

19．(本小题满分12分)已知等差数列
的公差
大于0,且
是方程
的两根,数列
的前
项和为
.

(1)求数列
的通项公式;(2)
记
,求证:
;

(3)求数列
的前
项和
.

[来源:学科网ZXXK]

20． (本小题满分13分)已知抛物线
与双曲线
有公共焦点
，点
是曲线
在第一象限的交点，且
．

（1）求双曲线
的方程；

（2）以双曲线
的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切，圆
：
．过点
作互相垂直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
，设
被圆
截得的弦长为
，
被圆
截得的弦长为
，问：
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

[来源:Z§xx§k.Com]

21．(本小题满分14分)已知函数
，
，
（1）若
，求函数
的极值；

（2）若函数
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（3）在函数
的图象上是否存在不同的两点
，使线段
的中点的横坐标
与直线
的斜率
之间满足
？若存在，求出
；若不存在，请说明理由.

2013—2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考

高三文科数学答案

三．解答题

16.（1）依题意得，
，解得
，
. ……………………5分

（2）记从科研单位A抽取的4人为
，从科研单位C抽取的2人为
，则从科研单位A、C抽取
的6人中选2人作专题发言的基本事件有：

共15种. ……………………8分

记“选中的2人都来自科研单位A”为事件
，则事件
包含的基本事件有：

共6种. ……………………11分

则
.所以选中的2人都来自科研单位A的概率为
……………………12分

17解：(1) f (x)=sin2x+
cos2x－m

18．(1)证明：连接CO.

∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB为等腰直角三角形． ……………………1分

∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1. ……………………2分

又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴△ACB是等边三角形，

∴CO＝. ……………………3分

又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. ……
………………4分

又CO?平面ABCD，EO
平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. ……………………6分

(2)解：设点D到平面AEC的距离为h.

∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ……………………8分

∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， …………………9分

∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝， ……………………11分

∴点D到平面AEC的距离为. ……………………12分

19． (1)因为
是方程
的两根,且数列
的公差
,所以

公差
……………………1分

所以
. ……………………2分

又当
时,有
,所以
.

当
时,有
,所以
. …………3分

所以数列
是首项为

,公比为
的等比数列,

所以
. ……………………4分

(2)由(1)知
, ……………………5分

所以
, ……………………7分

所以
. ……………………8分

(3)因为
, ……………………9分

则

,① [来源:学科网ZXXK]

,② ……………………10分

由①-②,得

, ……………………11分 [来源:学科网ZXXK]

整理,得
. ……………………12分

20解: （1）∵抛物线
的焦点为
，

∴双曲线
的焦点为
、
， ………………
…………………1分

设
在抛物线
上，且
，

由抛物线的定义得，
，∴
，∴
，∴
，………………3分

∴
， ………………………………………4分

又∵点
在双曲线
上，由双曲线定义得：

，∴
， ∴双曲线
的方程为：
． …………………6分

（2）
为定值．下面给出说明．

设圆
的方程为：
， ∵圆
与直线
相切，

∴圆
的半径为
，故圆
：
． ……………7分

显然当直线
的斜率不存在时不符合题意， ………………………………………………8分

设
的方程为
，即
，

设
的方程为
，即
，

∴点
到直线
的距离为
，

点
到
直线
的距离为
， ………………………………………………10分

∴直线
被圆
截得的弦长
，…………………11分

直线
被圆
截得的弦长
， ………………12分

∴
， 故
为定值
． ………………13分

21.解：（1）
的定义域为
………………………………………………1分

， …………………………………………2分

故


单调递增；

单调递减，

…………………3分

时，
取得极大值
，无极小值。 ……………………………4分

（2）
，
，

若函数
在
上单调递增，

则
对
恒成立 …………………………………5分

，只需
………………6分

时，
，则
，
， ………7分

故
，
的取值范围为
…………………………………8分

（3）假设存在，不妨设
，

………………………9分

…………………………………………10分

由
得
，整理得
………11分

令
，
，…12分，

在
上单调递增， …………………13分

，故

不存在符合题意的两点。 …………………………14分