命题人：王玉新 审题人：阮春长
王金峰 2013.10.19

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
，
是
的共轭复数，则
= （
）

A.
B.
C.1
D.2

2.平面向量
，
共线的充要条件是 （ ）

A.
，
方向相同 B.
，
两向量中至少有一个为零向量

C.

，
D. 存在不全为零的实数
，
，

3.设偶函数
满足
，则
（ ）

A.
B.

C.
D.

4．下列各小题中，
是
的充要条件的是 (??? )

（1）
或
；
有两个不同的零点。（2）
????
是偶函数.（3）
?
.（4）
????
.

A.
B.
C.
D.

5．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a10+a12为一确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数的是 （　　）

A．S13 B．S15 C．S17 D．S19

6.已知x0是函数f(x)＝
+lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则 （　　）

A．f（x1）＜0，f（x2）＜0
B．f（x1）＞0，f（x2）＞
0

C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0

7．函数
在区间
的简图是
（　 ）

[来源:学科网]

8．在直角
中，
是斜边
上的高，则下列等式不成立的是 (?? )

A.
B.

C.
D.

9．曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （　 ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

10．若α、β∈，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是 (　　 )

A．α>β B．α＋β>0 C．α2>β2 D．α<β

11.若函数f(x)＝－x·ex，则下列命题正确的是 (　 )

A．?a∈(－∞，)，?x∈R，f(x)>a B．?a∈(，＋∞)，?x∈R，f(x)>a

C．?x∈R，?a∈(－∞，)，f(x)>a
D．?x∈R，?a∈(，＋∞)，f(x)>a

12．已知函数f (x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，

则f(－1)的取值范围是 (　　 )

A．[－，3] B．[，6] C．[3,12] D．[－，12]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13. 已知
是奇函数,且
,若
,则
.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

14．“无字证明”(pro
ofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．

[来源:Z§xx§k.Com]

15. 设
是
平面内任意两个向量，若
，则
的最小值为 .

16. 在
中，D为边BC上一点，BD
=
DC,
=120°，AD=2，若
的面积为
，则
=

三、解答题：本大题共6小题，70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. （本小题满分10分）

已知集合
集合
且
求m、n的值.

18. （本小题满分12分）

已知f（x）=2
sinx
+

（1）求f(x)的值域，并求f(x)取得最大值时x的取值集合．

（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f(x)≤f(A)，若a=
，求
的最大值．

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中,已知
，满足向量
与向量
共线，且点
都在斜率为6的同一条直线上。若
。求

(1)数列
的通项
(2)数列{
}的前n项和

20. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中
是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有
持金卡，在省内游客中有
持银卡。

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量
，求
的分布列及数学期望
.

21.(本小题满分12分)

已知
R,函数
e
.

(1)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围;

(2)若函数f(x)存在极大值,并记为g(m),求g(m)的表达式;

(3)当m=0时,求证:
.

22. （本小题满分12分）

已知f（x）=ax+
+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（I）求a，b满足的关系式；（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

（III）证明：
（n∈N+）

2013年秋期高三第四次月考（理数）试题答案

[来源:Zxxk.Com]

二、填空题：13. -2 14.
; 15. -2 16.

三、解答题：

18解：（1）f(x)=2
sinx+
＝2
sinx+2cosx=4sin(x+
).(x
）

∵x
, ∴x+

+
. 但是可以x+
=kπ+
∴－4≤f(
x)≤4

∴f(x)值域为[-
4,4].

当x+
=2kπ+
（k∈Z）时，f（x）取得最大值为4∴f(x)的最大值为4,取最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+
,k∈Z}……6分

19．解：(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，

∴

=6，即bn+1-bn=6,

于是数列{bn}是等差数列，故bn=12+6(n-1)= 6n+6. ………………………………3分

∵
共线.

∴1×(-bn)－(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn

∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1

=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)
.

当n=1时,a1也适合上式,所以an=
. …………………………………………8分

(2)
,

………………………………………………………………12分

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3

,

，
.

所以
的分布列为

0

1

2

3















 所以
，…………………………………12分

[来源:学科网ZXXK]

21.解: (1)令f(x)=0得
e
∴
.

∵函数f(x)没有零点, ∴
. ∴0

当x=-m时,f(x)取得极大值me

当m=2时,f′(x)
e
在R上为增函数,∴f(x)无极大值.

当m<2时,则-m>-2,

此时随x变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 

当x=-2时,f(x)取得极大值(4-m)e

∴g(m)=
…………………………………………………………8分

(3)证明:当m=0时
e

要证
即证e
即证e

令g(x)=e
则g′(x)=e

∴当x>0时g(x)为增函数; 当x<0时g(x)
为减函数,

∴x=0时g(x)取最小值,g(0)=0. ∴
. ∴e
.

∴
. ……………………………………………………………………12分



②a≥1时，
≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）…………………………………8分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．取a=1得x?
≥2lnx，令x＝
＞1得
－
＞2ln