参考公式：

如果事件
，
互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件
，
相互独立，那么 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么

次
独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

棱台的体积公式

球
的表面积公式

球的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示球的半径
表示棱台的高

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3．在等差数列
中，若

，则
的值为（ ）

A．20 B．22
C．24 D．28

4．若方程
的根在区间
上，则
的值为（ ）[来源:学。科。网Z。X。X。K]

A．
B．1 C．
或2 D．
或1

5．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．8 B．
C．
D．
[来源:Zxxk.Com]

6.在
中，已知
，则|
|的值为（ ）[来源:学,科,网]

A .1 B.
C.
D. 2

7. 用8个数字
可以组成不同的四位数个数是（ ）

A．168 　 B. 180 C. 204 　 D. 456

8．已知函数
是定义在
上的增函数，函数
的图象关于点
对

称. 若对任意的
，不等式
恒成立，则当

时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知双曲线
的右焦点为
，过
的直线
交双曲线的渐近线于
，
两点，且与其中一条渐近线垂直，若
，则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
，对任意
存在
使
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．已知

为虚数单位），则
＝ ．

12．
展开式中
项系数为 .

13．若框图（右图）所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入

的关于
的条件是___________.

























14．有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，

若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，

其他情况不得分，小张摸一次得分的期望是__ _ _______分．

15．已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是_　　　 ．

16．正方体
的棱长为2，点
是
的中点，点
是正方形
所在平面内的一个动点，且满足
，
到直线
的距离为
，则点
的轨迹是__________．

17．已知函数

且
，其中
为奇函数,
为偶函数，若不等式
对任意
恒成立,则实数
的取值范围是 .

温州中学2013年第二次模拟测试

数学（理科）试题卷

选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）已知函数
的最大值为2.

（Ⅰ）求函数
在
上
的单调递减区间；

（Ⅱ）
中,
,角
所对的边分别是
，且
，求
的面积．

（1）由题意，
的最大值为
，所以
．

而
，于是
，
．

为递减函数，则
满足

，

即

．

所以
在
上的单调递减区间为
．

（2）设△ABC的外接圆半径为
，由题意，得
．

化简
，得

．

由正弦定理，得
，
． ①

由余弦定理，得
，即
． ②

将①式代入②，得
．

解得
，或
（舍去）．

．

19．（本小题满分14分
）已知等差数列
的前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

20．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
⊥底面
，侧棱
与底面
成
的角，
．底面
是边长为2的正三角形，其重心为
点，
是线段
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
//侧面
；

（Ⅱ）求平面
与底面
所成锐二面角的正切值．

解法1：（1）延长B1E交BC于点F，
∽△FEB，BE=
EC1，∴BF=
B1C1=
BC，

从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线．且
，

又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，

∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，

又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT
=AH
．在Rt△B1HT中，
，

从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
．

解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．

以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图，

则
，
，
，
，
，
．

∵G为△ABC的重心，∴
．
，∴
，

∴
． 又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

（2）设平面B1GE的法向量为
，则由
得

可取
又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
，则
．

由于
为锐角，所以
，进而
．

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
．

21．（本小题满分15分）已知椭圆
的短轴长为
，离心率为

，其一个焦点在抛物线
的准线上,过
的焦点
的直线交
于
两点，分别过
作
的切线，两切线交于点
.

（Ⅰ）求
、
的方程；

（Ⅱ）当点
在
内部运动时，求
面积的取值范围.

21.解：（Ⅰ）由椭圆条件得∴

，解得
，

∴
：
.

∵抛物线的焦点
与
的一个焦点重合,∴
，解得
，∴
：
.

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在且过点
，设其方程为
，

由
消去
得，

令
，则
，
，

由
得，
，
，
，

联立
的方程解得，
，
，

∴

，∴点
恒在直线
上，此直线与
交于
两点，

∵点
在
内部，∴
，∴
，∴
，（也可由
求得）

由
消去
得，
，

令
，则
，
，

，[来源:Zxxk.Com]

点到直线
的距离
，

∴
的面积

令
，考察函数
，
，
，

∴
在
上单调递增，∴
，∴
，

即
.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（Ⅱ）∵
∴

令
，则

∴
在
上

∵
，当
时，
∴存在