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2013学年高三调研测试（一）

数学(理科) 2013.8

本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
满足
（
为虚数单位），则
的共轭复数
为

　　　

　　　

　

２．已知集合
均为全集
的子集，且

,
,则

　　

　　

　　

3. 已知等差数列
满足
，

，则它的前10项和

85 　　
135

95
23

4．对于平面
、
、
和直线
、
、
、
,

下列命题中真命题是

若
,则

若
则

若
,则

若
,则

5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输

出的值是
,则

　　　

　　　

6．将函数
的图像向右平移
个单位，那么所得的图像所对应的函数解

析式是

　　



　

7．给出下列四个结论：

①若命题
，则
；

② “
”是“
”的充分而不必要条件；

③命题“若
，则方程
有实数根”的逆否命题为：“若方程
没有实数根，则
0”；

④若
，则
的最小值为
．

其中正确结论的个数为

　　　

　　　

8. 已知函数
是定义在
上的奇函数，若对于任意的实数
，都有
，且当
时，
，则
的值为

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．设二项式
的展开式中常数项为
,则
．

10．一物体在力
(单位：
)的作用下沿与力
相同的方向,从
处运动到
(单位：
)处,则力
做的功为 焦．

11．设
，其中实数
满足
，若
的最大值为
，则
.

12．已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线

分别交于
两点，
为坐标原点．若双曲线的离心率为2,
的面积为
,则

.

13．在区间
上随机取一个数
，使得
成立的概率为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆
的参数方程为
为参数），点
的极坐标为（
，
）．

若点
是圆
上的任意一点，
两点间距离的最小值为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图2，
是⊙
的直径，

是
延长线上的一点，过
作⊙
的切线，切

点为
，
，若
，则⊙
的

直径
__________ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分
分)

在
中，角
的对边分别为
向量
，
,且
．

（１）求
的值；

（２）若
,
,求角
的大小及向量
在
方向上的投影．

17．(本小题满分
分)

为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图3是测量数据的茎叶图：

规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.

（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；

（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数
的分布列及其数学期望
；

（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

18．(本小题满分14分)

如图4，在四棱锥
中，侧面
底面
,
,
为
中点，底面
是直角梯形，
,

，
,
．

(1) 求证：
平面
；

(2) 求证：平面
平面
；

(3) 设
为棱
上一点，
,试确定
的值使得二面角
为
．

19．（本小题满分1４分）

若数列
的前
项和为
，对任意正整数
都有
，记
．

（1）求
,
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）若
求证：对任意
．

20．(本小题满分
分)

已知椭圆
：
的长轴长为4，且过点
．

（１）求椭圆
的方程；

（２）设
、
、
是椭圆上的三点，若
，点
为线段
的中点，
、
两点的坐标分别为
、
，求证：
．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）若
在
处取得极值，求
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）若
且
，函数
，若对于
，总存在
使得
，求实数
的取值范围．

2013学年高三调研测试(一)

理科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

C

B

A

D

C

A



二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9.
10.
11.
12.

13.
14.
15.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

（本小题主要考查向量数量积、投影，三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）

解:(１)由
,得
,………………1分

, ………2分

.

　
. 　　　　　　　　　　　　　　 ………………３分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………４分

(２)由正弦定理，有
, ………………５分

． ………………６分

，
,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………７分

． 　　　　　　　　　 ………………8分

由余弦定理，有
， ………………9分

或
（舍去）．