临沂十八中2013届高三4月模拟考试

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2．

（A）
（B）
（C）
（D）

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）
（B）

（C）
（D）

4．右图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

（A）84，4.84 （B）84，1.6 （C）85，1.6 （D）85，4

5．已知向量
，
，且
∥
，则
的值为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

6．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数
值的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

7．已知不等式
≤
的解集不是空集，则实数
的取值范围是

（A）
＜2 （B）
≤2 （C）
＞2 （D）
≥2

8．已知
为等差数列，若

（A）24 （B）27 （C）15 （D）54

9．函数
（其中
＞0，
＜
）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需将
的图象

（A）向右平移
个单位长度 （B）向左平移
个单位长度

（C）向右平移
个单位长度 （D）向左平移
个单位长度

10．圆锥曲线
的两个焦点分别为
，若曲线
上存在点
满足
∶
∶

=4∶3∶2，则曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

11．2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有

（A）20种 （B）24种 （C）30种 （D）36种

12．定义在R上的奇函数
，当
≥0时，
则关于
的函数
（0＜
＜1）的所有零点之和为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．

13．某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表：

广告费用
（万元）

3

4

5

6



销售额
（万元）

25

30

40

45



根据上表得回归方程
中的
为7，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 （万元）．

14．设
的展开式中的常数项等于 ．

15．已知变量x，y满足约束条件
，则
的取值范围为 ．

16．定义平面向量的一种运算：
，则下列命题：

①
；②
；③
；

④若
=
.

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量
函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）在锐角
中，
的对边分别是
，且满足
求
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知数列
，
，
，记

，

，

（
）,若对于任意
，
，
，
成等差数列.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 求数列
的前
项和.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面

为直角，
∥
，
分别为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设
＞
），且二面角
的大小为
，求此时
的值.

20．（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为
，第二次抽取卡片的标号为
.设
为坐标原点，点
的坐标为
记
.

（Ⅰ）求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列和数学期望.

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，长轴的左、右端点分别为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
，
两点，直线
与
交于点
.试问：当
变化时，点
是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

22．（本小题满分13分）

已知函数
，

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
…
＜
（
＞1）.