池州一中2014届高三第一次月考

数学（理）试题

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

⒈ 设
（
是虚数单位），则
（ ）

A.
B.
C.
D.

⒉ 已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

⒊ 若双曲线
的离心率为2，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

⒋ 甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为
、
，则下列判断正确的是（ ） A.
，甲比乙成绩稳定

B.
，乙比甲成绩稳定

C.
，甲比乙成绩稳定

D.
，乙比甲成绩稳定

⒌ 等差数列
中的
、
是函数
的极值点，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

⒍ 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径

为2，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

⒎ 已知函数
，其导函数
的部分图像如图所示，则函数
的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D．

⒏ 设变量
满足
，若直线
经过该可行域，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

⒐ 已知偶函数
满足
，且在区间
上单调递增.不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 定义在
上的奇函数
，满足
，
，则函数
在区间
内零点个数的情况为（ ）

A．
个 B．
个 C．
个 D．至少
个

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.

11.已知
，则
的展开式中的常数项是 （用数字作答）.

12. 执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为 .

13.抛物线
上点
处的切线方程是 .

14. 已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
(
为参数）.
、
分别是曲线
和直线
上的任意一点，则
的最小值为 .

15. 已知函数
，给出下列五个说法：

①
；②若
，则
；③
在区间
上单调递增； ④将函数
的图象向右平移
个单位可得到
的图象；⑤
的图象关于点
成中心对称．其中正确说法的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，已知
,其中
、
、
分别为
的内角
、
、
所对的边.求：

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求满足不等式
的角
的取值范围.

17.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
，
，
，设顶点
在底面
上的射影为
．

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）设点
在棱
上，且
，试求二面角

的余弦值．

18.（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）当
时，若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围；

19.（本小题满分12分）

甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立．已知第 二局比赛结束时比赛停止的概率为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望

．

20.（本小题满分13分）

数列
的前
项和为
，
．

（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）若
，
，求不超过
的最大的整数值．

21.（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
的左焦点为
，右焦点
，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直
于点
，线段
垂直平分线交
于点
，求点
的轨迹
的方程；

（Ⅲ）设
与
轴交于点
，不同的两点
在
上，且满足
，求
的取值范围.

池州一中2014届高三年级第一次月考

数学（理）试题答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

⒈

⒉

⒊

⒋

⒌

⒍

⒎

⒏

⒐

⒑



答案

C

A

D

B

A

C

B

A

B

D



⒈【解析】因为
，所以
，选C.

⒉【解析】因为
，所以选A.

⒊【解析】由
知
，而
，解得
，选D.

⒋【解析】由茎叶图知，甲的得分情况为17,16,28,30,34；乙的得分情况为15,28,26,28,33，因此可知甲的平均分为
，乙的平均分为
，故可知
，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B.

⒌【解析】
.因为
、
是函数
的极值点，所以
、
是方程
的两实数根，则
.而
为等差数列，所以
，即
，从而
，选A．

⒍【解析】由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为
，故答案为C.

⒎【答案】B．

⒏【解析】直线
过定点
，作可行域如右图所示，当定 点和B点连接时，斜率最大，此时
，选A；

⒐【解析】因为偶函数
在区间
上是增函数且
，所 以
可化为
，则有
，解得
的取值范围是
，选B.⒑【解析】∵
是定义在
上的奇函数，且周期是3，
，∴
，即
.∴
，
；又
，则
，从而
,所以
内，至少有6个解，选D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

题号

⒒

⒓

⒔

⒕

⒖



答案



2





①④



⒒【解析】
，因而要求
展开式中的常数项是，即求
展开式中的
的系数，由展开式的通项公式
，则令
，解得
，从而常数项为
；

⒓ 【解析】根据题意，由于
，
；那么第一次循环得到“
，
” ；第二次循环得到“
，
”；第三次循环得到“
，
”；可知s的值呈现周期性出出现，周期为3，故可知当
时，
.此时输出结果为2，故答案为2.⒔【解析】由
得
，则
，则在点
处的切线斜率为
，所以切线方程为
，即
.⒕【解析】曲线
的直角坐标方程为
，而直线
的普通方程为
，曲线
与直线
平行，则
.

⒖【解析】
.①正确，
；②错误：由
，知
或
；③错误：令
，得
，由复合函数性质知
在每一个闭区间
上单调递增，但
，故函数
在
上不是单调函数；④错误：将函数
的图象向右平移
个单位可得到
；⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足
，解得
，即对称中心坐标为
，则点
不是其对称中心.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

⒗ （本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由
及正弦定理得

∴(
+
)(
-
)=(
-
)
,即
……………4分

∴
，

由
，∴
……………………………………6分

（Ⅱ） ∵
,∴
, …………7分

即
,∴
,…………………9分

∴

. ……………………………………12分

⒘ （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）方法一：由
平面