数学（理）试题

一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
，则复数
在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知全集U=R，集合A={
}，集合B={
}，则如图所示的阴影部分表示的集合是

A．{
} B．{
}

C．{
} D．{
}

3．下列命题中正确的有

①设有一个回归方程
=2—3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②命题P：“
”的否定
P：“
”；

③设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X>1)=p，则P(-1

④在一个2×2列联表中，由计算得k2=6．679，则有99％的把握确认这两个变量间有关系．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

本题可以参考独立性检验临界值表

P(K2≥k)

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.535

7.879

10.828



4．平面四边形ABCD中
，则四边形ABCD是

A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形

5．已知
是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=
，且当
时，
，则
=

A．1-e B．e-1 ． C．-l-e D．e+l

6．如果右边程序框图的输出结果是10，那么在判断框中①表示的“条件”应该是

A．i≥3 B．i≥4 C．i≥5 D．i≥6

7．设x，y满足约束条件
，若目标函数
的最小值为2，则
的最大值是

A．1 B．
C．
D．

8．已知m，n是空间两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若
，
，
，则
B．若
，则

C．若
则
D．若
则

9．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有

A．24种 B．18种 C．48种 D．36种

10．关于函数
的四个结论：P1：最大值为
；P2：把函数
的图象向右平移
个单位后可得到函数
的图象； P3：单调递增区间为[
]，
； P4：图象的对称中心为(
)，
．其中正确的结论有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．现有四个函数：①
②
③
④
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①

12．椭圆
上有两个动点
、
，
，
，则
的最小值为（ ）

A．6 B．
C．9 D．

二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．

13、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线
经过点B，现将一质

点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ；

14．
的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为 ；

15．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：

22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…

23=3+5 33=7+9+11…

24=7+9…

此规律，54的分解式中的第三个数为 ；

16．函数
的定义域为D，若存在闭区间[a，b]
D，使得函数
满足：

(1)
在[a，b]内是单调函数；

(2)
在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=
的“和谐区间”．

下列函数中存在“和谐区间”的是 (只需填符合题意的函数序号).

①
；②
；③
；④
.

三、解答题：本大题共6小题.共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．(本小题满分12分)在△ABC中，已知A=
，
．

(I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=2
，D为AB的中点，求CD的长．

18．(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
、
、
.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

19．(12分)如图1，
的直径AB=4，点C、D为
上两点，且
CAB=45°，
DAB=60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2.

(I)求证：OF
平面ACD；

(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；

(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G，使得FG
平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由．

20．(12分)已知数列{
}的前n项和
，数列{
}满足
=
．

(I)求证数列{
}是等差数列，并求数列{
}的通项公式；

(Ⅱ)设
，数列{
}的前n项和为Tn，求满足
的n的最大值.

21．(13分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，短轴长为4
.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
.

①求四边形APBQ面积的最大值；

②设直线PA的斜率为
，直线PB的斜率为
，判断
+
的值是否为常数，并说明理由．

22．(l3分)已知函数
．

(I)若a=-1，求函数
的单调区间；

(Ⅱ)若函数
的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t
[1，2]，函数
是
的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；

(Ⅲ)求证：

高三阶段性检测（理）参考答案及评分标准 3月31日

随机变量
的分布列为

0

1

2

3
















=
+
+
+
=
. ………………………………………………………12分

19.（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接
，

，
. …1分 又
为弧
的中点，
，
.
平面
，
平面
，

平面
． …4分

解：（Ⅱ）过
作
于
，连
．

，平面
⊥平面
．

⊥平面
．又
平面
，
，
平面
，
，则∠
是二面角
的平面角．

，
，
. 由
⊥平面
，
平面
，得
为直角三角形，

，



=
=
． ………8分

（Ⅲ）取弧
的中点
，连结
、
，则

…

平面
，
平面
平面

//平面
. ……………

因此，在弧
上存在点
，使得
//平面
，且点
为弧
的中点．…12分

（方法二）：证明：（Ⅰ）如图，以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴，以
为原点，建立空间直角坐标系
则

．…… 1分
，

点
为弧
的中点，
点
的坐标为
，
．

解：（Ⅱ）
，
点
的坐标
，
．

设二面角
的大小为
，
为平面
的一个法向量．

由
有
即

取
，解得
，
．
=
． ………………………………5分

取平面
的一个法向量
=
， ………………………………………………………6分

． ……………………………8分

（Ⅲ）设在弧
上存在点

,

,由（Ⅱ）知平面
的一个法向量为
=
．

=
①……………9分

又因为
②由①②两式联立解得
，…11分
，因为
，所以
,则
为弧
的中点，因此，在弧
上存在点
，使得
//平面
，且点
为弧
的中点． ………12分

20. 解：（Ⅰ）在
中，令n=1，可得
，即
.

当
时，
∴
， …∴
，即
.∵
，∴
，即当
时，
. ……又
，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

于是
，∴
. …………………………………………6分

（Ⅱ）∵