1..等比数列
为递增数列，且

，数列
(n∈N※)

（1）求数列
的前
项和
；

（2）
，求使
成立的最小值
．

2．已知数列{
}、{
}满足：
.

(1)求
;

(2)求数列{
}的通项公式；

(3)设
，求实数
为何值时
恒成立

3．在数列
中，
为其前
项和，满足
．

（I）若
，求数列
的通项公式；

（II）若数列
为公比不为1的等比数列，且
，求
．

4．已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）令bn=
（
），求数列
的前n项和
。

5，已知递增的等比数列
满足
是
的等差中项。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
是数列
的前
项和，求

6．已知数列
中，
，
，（1）求证：数列
为等比数列。

（2）设数列
的前
项和为
，若
，求正整数列
的最小值。

7．已知数列
的前n项和为
，若

（1）求证：
为等比数列；

（2）求数列
的前n项和。

1等比数列
为递增数列，且

，数列
(n∈N※)

（1）求数列
的前
项和
；

（2）
，求使
成立的最小值
．

解：（1）
是等比数列，

，两式相除得：

，
为增数列，
，
-------4分

--------6分

，数列
的前
项和
---8分

（2）
=
=

即：
-------12分

--------14分

（只要给出正确结果，不要求严格证明）

2．已知数列{
}、{
}满足：
.

(1)求
;

(2)求数列{
}的通项公式；

(3)设
，求实数
为何值时
恒成立

解：（1)

∵
∴
……………4分

（2）∵
∴

∴数列{
}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分

∴
∴
……………8分

(3)

∴

∴
……………10分

由条件可知
恒成立即可满足条件设

a＝1时，
恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立

a

f(n)在
为单调递减函数．

∴
∴a<1时
恒成立 ……………15分

综上知：a≤1时，
恒成立

3．在数列
中，
为其前
项和，满足
．

（I）若
，求数列
的通项公式；

（II）若数列
为公比不为1的等比数列，且
，求
．

解：（I）当
时，
所以

即
，所以当
时，
；

当
时，

所以数列
的通项公式为
．…………7分

（II）当
时，
，所以
，
.
，

，
，

由题意得，
，所以
．

此时，
，从而

因为
所以
，从而
为公比为3的

等比数列,得
,
,

4．已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）令bn=
（
），求数列
的前n项和
。

解析：（Ⅰ）设等差数列
的公差为d，因为
，
，所以有

，解得
，

所以
；
=
=
。………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以bn=
=

=
，

所以
=
=

，

即数列
的前n项和
=
。

5已知递增的等比数列
满足
是
的等差中项。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
是数列
的前
项和，求

解：（1）设等比数列的公比为q，有题意可得
解答：
q=
2
（舍去）

，∴等比数列
的通项公式为：

（2）∵
∴anbn=（n+1）2n，用错位相减法得：

6．已知数列
中，
，
，（1）求证：数列
为等比数列。

（2）设数列
的前
项和为
，若
，求正整数列
的最小值。

解：因为

所以

所以数列
为等比数列。

（2）

可知
时满足条件。

7．已知数列
的前n项和为
，若

（1）求证：
为等比数列；

（2）求数列
的前n项和。

(1)解：由
得：
∴
，即
∴
4分又因为
，所以a1 =－1，a1－1 =－2≠0，∴
是以－2为首项， 2为公比的等比数列． 6分

(2)解：由(1)知，
，即
8分∴
10分故

1．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，且
，数列
满足
，且点
在直线
上。

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

2．（本小题满分14分）

已知数列
中，
，当
时，其前
项和
满足
．

（1）求
的表达；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，求证：当
且
时，
．

3．（本小题满分14分）

已知数列
的首项
，
，其中
。

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）记
，若
，求最大的正整数
．

4．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，且对任意
，有
成等差数列．

（1）记数列
，求证：数列
是等比数列；

（2）数列
的前
项和为
，求满足
的所有
的值．

5．（本小题满分14分）

已知数列
的前n项和
满足：
（
为常数，
）

（1）求
的通项公
式；

（2）设
，若数列
为等比数列，求
的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，
，数列
的前n项和为
．

求证：
．

6．（本小题满分14分）

正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．

（1）试求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：
．

7．（本小题满分14分）

已知数列
是公差不为零的等差数列，其前
项和为
，且
，又

成等比数列．

（1）求
；

（2）若对任意
，
，都有
，

求
的最小值．

8．（本小题满分14分）

已知数列
满足：
．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）令
（
），如果对任意
，都有
，

求实数
的取值范围．

9．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*．

令bn＝an＋1－2an，且a1＝1．

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f′(1)的表达式，并比较f′(1)与8n2－4n的大小．

10．（本小题满分14分）

数列{an}满足a1＝0，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋4sin2，n＝1,2,3，….

(Ⅰ)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设Sk＝a1＋a3＋…＋a2k－1，Tk＝a2＋a4＋…＋a2k，Wk＝(k∈N*)，求使Wk＞1的所有k的值，并说明理由．

11．（本小题满分14分）

在数列
中，
，
，

（1）设
，求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

12．（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p – 1)Sn = p2 – an，n ∈N*，p > 0且p≠1，数列{bn}满足bn = 2logpan．

（1）若p =
，设数列
的前n项和为Tn，求证：0 < Tn≤4；

（2）是否存在自然数M，使得当n > M时，an > 1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

13．（本小题满分14分）

设数列
的前n项和为
，且
对任意正整数n都成立，其中
为常数，且
，

（1）求证：
是等比数列；

（2）设数列
的公比
，数列
满足：

，求数列
的前
项和
．

1．（本小题满分14分）

解：（1）当
，
；当
时，

∴
， ∴
……………………………………………（4分）

，又
，∴
……………..……………..……（8分）

（2）

……………………..…..……………..……（10分）

．………（14分）

2．（本小题满分14分）

解：（1）

所以
是等差数列.则
．…………………………………………5分

（2）当
时，
，

综上，
．……………………………………..………9分

（3）令
，当
时，有
（1）

法1：构造函数法：等价于求证
.

当
时，
令

，

则
在
递增. 又
，

所以
即
.………………………….……………14分

法2：放缩法：

（2）

． （3）

因
，

所以

．

由（1）（3）（4）知
．.………………………….……………….…………14分

法3：函数思想：令
，则
．

所以
．

因

则
，
．

所以
．
（5）

由（1）（2）（5）知
．.……………………….……………….……………14分

3．（本小题满分14分）

解：（1）∵
，……………………………………………………………3分

∴
， ……………………………………………………5分

且∵
，∴
， ………………………………6分

∴数列
为等比数列． …………………………………………………7分[来源:Zxxk.Com]

（2）由（1）可求得
，……………………………………………8分

∴
．…………………………………………………………9分

．…………………………11分

若
，则
，∴
．…………………………………14分

4．（本小题满分14分）

证明：（1）
，
．

，

． 又由
．

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．………………… 7分

解：（2）
，
．

，

．

所以
的值为3，4．…………………………………………………… 14分

5．（本小题满分14分）

解：（1）
．

∴

当
时，
．

．

两式相减得：
，
(a≠0，n≥2)，即
是等比数列．

∴
．………………5分

（2）由（1）知a≠1．

，
．

若
为等比数列，则有

而
，
．

． ………………7分

故

，

解得
． …………9分

再将
代入得
成立，

所以
． …………10分

（3）证明：由（2）知
，

所以

… 12分

所以

[来源:学网]

………14分

6．（本小题满分14分）

解：（1）∵an>0，
，

∴
，

则当n≥2时，

即
，

而an>0， ∴
．

又
，

，故
． …………………7分

（2）
，

． ……………………………..…14分

7．（本小题满分14分）

解：（1）设公差为

，由条件得
，得
．

所以
，
． …………7分

（2）∵
．

∴

．

∴
， 即：
，
．

∴
的最小值为48． …………14分

8．（本小题满分14分）

解：（1）由题可知：
①

②

②—①可得
．

即：
，又
．

所以数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列．………..…..6分

（2）由（1）可得
，
．

由
，可得
．

由
可得
．

所以

故
有最大值
．

所以，对任意
，有
．

如果对任意
，都有
，即
成立，

则
，故有：
．

解得
或
．

所以，实数
的取值范围是
． ……………………14分

9．（本小题满分14分）

解：（1）∵Sn＋1＝4(an＋2)－5，∴Sn＋1＝4an＋3，

∴Sn＝4an－1＋3(n≥2)， ∴an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，

∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)， ∴＝＝2(n≥2)．

∴数列{bn}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－2a1，

而a1＋a2＝4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6， ∴b1＝6－2＝4，

∴bn＝4×2n－1＝2n＋1．………………………6分

（2）∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，

∴f′(x)＝b1＋2b2x＋3b3x2＋…＋nbnxn－1，

∴f′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn，

∴f′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， ①

∴2f′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2， ②

①－②得－f′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2

＝－n·2n＋2＝－4(1－2n)－n·2n＋2，

∴f′(1)＝4＋(n－1)·2n＋2，

∴f′(1)－(8n2－4n)＝4(n－1)·2n－4(2n2－n－1)＝4(n－1)[2n－(2n＋1)]．

当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；

当n＝2时，f′(1)－(8n2－4n)＝4(4－5)＝－4<0，f′(1)<8n2－4n；

当n＝3时，f′(1)－(8n2－4n)>0，

结合指数函数y＝2x与一次函数y＝2x＋1的图象知，当x>3时，总有2x>2x＋1，

故当n≥3时，总有f′(1)>8n2－4n.

综上：当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；

当n＝2时，f′(1)<8n2－4n；

当n≥3时，f′(1)>8n2－4n． ………………………14分

10 本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查数学归纳法与推理论证能力。满分14分。

解：(Ⅰ)因为a1＝0，a2＝2，

所以a3＝(1＋cos2)a1＋4sin2＝a1＋4＝4，

a4＝(1＋cos2π)a2＋4sin2π＝2a2＝4．

一般地，当n＝2k－1(k∈N*)时

a2k＋1＝[1＋cos2]a2k－1＋4sin2π＝a2k－1＋4，即a2k＋1－a2k－1＝4．

所以数列{a2k－1}是首项为0，公差为4的等差数列，

因此a2k－1＝4(k－1)．

当n＝2k(k∈N*)时，

a2k＋2＝(1＋cos2)a2k＋4sin2＝2a2k.

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k＝2k.

故数列{an}的通项公式为

an＝…………………(7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，Sk＝a1＋a3＋…＋a2k－1＝0＋4＋…＋4(k－1)＝2k(k－1)，

Tk＝a2＋a4＋…＋a2k＝2＋22＋…＋2k＝2k＋1－2，

Wk＝＝．

于是W1＝0，W2＝1，W3＝，W4＝，W5＝，W6＝．

下面证明：当k≥6时；Wk＜1．

事实上，当k≥6时，

Wk＋1－Wk＝－＝＜0，即Wk＋1＜Wk．

又W6＜1，所以当k≥6时，Wk＜1．

故满足Wk＞1的所有k的值为3、4、5．…………………(14分)

11．（本小题满分14分）

解：（1）
，

所以
，

又
，

故
．

（2）由（1）得
，

所以
．

①－②得：
．

所以
．

12．（本小题满分14分）

（1）解：由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*)． ①

由(p – 1)Sn – 1 = p2 –
． ②

① – ②得
(n≥2) ．

∵an > 0 (n∈N*)．

又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p．

{an}是以p为首项，
为公比的等比数列．

an = p
．

bn = 2logpan = 2logpp2 – n．

∴bn = 4 – 2n ． ………… 4分

证明：由条件p =
得an = 2n – 2．

∴Tn =
． ①

． ②

① – ②得：

= 4 – 2 ×

= 4 – 2 ×
．

∴Tn =
． ………… 8分

Tn – Tn – 1 =
．

当n > 2时，Tn – Tn – 1< 0．

所以，当n > 2时，0 < Tn≤T3 = 3．

又T1 = T2 = 4，∴0 < Tn≤4． …………10分

（2）解：若要使an > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论．

当p > 1时，2 – n > 0，n < 2．

当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2．

∴当0 < p < 1时，存在M = 2．

当n > M时，an > 1恒成立． ………… 14分

13．（本小题满分14分）

解：（1）由已知
，
，相减，得：

，即
，所以
是等比数列．……..5分

（2）当n＝1时，
则
，从而
．K*s*5u

由（1）知
，所以
（
）．

．

．

．

． ……..14分