北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】
,所以
,所以选B.

2．复数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．1

【答案】D

【解析】
，所以
，选D.

3．下面四个条件中，使
成立的充分不必要条件为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】因为
，所以
是
成立的一个充分不必要条件，选A.

4．已知向量
，
，若
与
垂直，则
( )

A．
B．
C．2 D．4

【答案】C

【解析】由题意知
，因为
与
垂直，所以
，即
，所以
，解得
，所以
，选C.

5．某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥。四棱锥的高为2，底面矩形的两个边长分别为6,4.则侧面斜高
,
。所以侧面积为
，选C.

6．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为
时，则其输出的结果是( )

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【解析】第一次
不满足条件，
。第二次，不满足条件，
。第三次满足条件，此时
，输出
，选D.

7．已知函数
，下列说法正确的是（ ）

A．
，
在
上是增函数

B．
，
在
上是减函数

C．
，
是
上的常函数

D．
，
是
上的单调函数

【答案】D

【解析】函数的定义域为
。当
时，
。当
时，函数
为奇函数。
，若
，则
，所以函数在区间
和
上，函数
递增。若
，则
，所以函数在区间
和
上，函数
递减。所以D正确，选D.

8．如图，已知在四棱锥
中，底面
是菱形,
底面
，

，则四棱锥
的体积
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】A

【解析】
，所以
，所以高
,底面积为
,所以四棱锥的体积为
，因为
，所以
，
，即
，所以体积的取值范围是
，选A.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．若实数
满足不等式组
则
的最小值是__________．

【答案】4

【解析】做出不等式对应的可行域，由
得
，作直线
，平移直线
，由图象可知当直线
经过点
时，直线
的截距最小，此时
最小，最小为
。如图

10. 公比为
的等比数列
的各项都为正数，且
，则
_______；

_________________.

【答案】
；

【解析】由
，解得
。又
，所以
，所以
.

11．已知
的内角
所对的边分别为
，且
，
，
，则
的值为__________．

【答案】

【解析】因为
,所以
，根据正弦定理
得
。

12．设
是定义在R上的奇函数，当
时，
，且
，则不等式

的解集为__________．

【答案】

【解析】因为函数
为奇函数。当
时，
，函数单调递增，所以
，由图象可知
，不等式
的解为
或
，即不等式的解集为
。

13．已知直线

和圆

,则与直线
和圆
都相

切且半径最小的圆的标准方程是_______________．

【答案】

【解析】圆C的标准方程为
，圆心
半径为
。圆心C当直线
的距离
，则圆上的点到直线的最短距离为
，要使圆与直线
和圆
都相切且半径最小，则圆的直径
。所以所求圆心在直线
上，且圆心到直线的距离为
，解得圆心坐标为
，所以圆的标准方程为
。如图

14．已知点
与点
在直线
的两侧，给出下列命题：

①
；

②
时，
有最小值，无最大值；

③ 存在正实数
，使得
恒成立 ；

④
且
，
时, 则
的取值范围是
.

其中正确的命题是__________（把你认为所有正确的命题的序号都填上）．

【答案】③④

【解析】因为点P,Q在直线的两侧，所以
，即
，所以①错误。当
时，得
，即
，所以
无最小值，所以②错误。
的几何意义为点
到原点
的距离。则原点到直线
的距离
，所以
,所以只要
，则有
成立，所以③正确，如图
.
的几何意义表示点
到点
连线斜率的取值范围。
由图象可知
或
，即
的取值范围为
，所以④正确。所以正确的命题为③④。

三、解答题

15．（本题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值与最小值．

16．（本题满分13分）

已知数列
是一个等差数列，且
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）令
，求数列
的前n项和
．

17．（本题满分14分）

已知
是矩形，
，
分别是线段
的中点，
平面

．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）在棱
上找一点
，使
∥平面
，并说明理由．

18．（本题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，求实数
的值；

（Ⅱ）求正整数
，使得
在区间
上为单调函数．

19．（本题满分14分）

已知椭圆
：
的离心率为
，且右顶点为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
交于
两点，当以线段
为直径的圆经过坐标原

点时，求直线
的方程．

20．（本题满分13分）

已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若
在区间
上的值域为
，求实数
的取值范

围；

（Ⅲ）设函数
，
，其中
.若
对
恒成立，求实数
的取值范围．

北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（文科）

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

A

C

C

D

D

A



二、填空题

9．4 10．
；
11．
12．
或

13．
14．③④

三、解答题

15．解：（Ⅰ）由已知可得

． ……………………4分

的最小正周期是
．……………………5分

由
，

得

所以函数
的单调递增区间为
．………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
．

因为
，所以
，

当
时，即
时，
取得最大值
；

当
，即
时，
取得最小值
． ………………13分

16． 解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，

由已知条件得
，

解得
，
．……………………4分

所以
． ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．

所以
=

=
．………………10分

所以
=
=

．

即数列
的前n项和
=
． ……………………13分

17．（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，

因为AD=2AB,点F是BC的中点,

所以∠AFB=∠DFC=45°．

所以∠AFD=90°,

即AF⊥FD． ……………………4分

又PA⊥平面ABCD,

所以PA⊥FD．

所以FD⊥平面PAF． ……………………7分

（Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,

则EH//平面PFD,且 AH =
AD．

再过H作HG//PD交PA于G, ……………………9分

所以GH//平面PFD,且 AG=
PA．

所以平面EHG//平面PFD． ……………………12分

所以EG//平面PFD．

从而点G满足AG=
PA． ……………………14分

18． 解：（Ⅰ）
………………………………2分

因为
在
上单调递减，

在
上单调递增，所以
.……………………4分

所以
． ……………………………5分

（Ⅱ）令
.

得
．……………………7分

当
是正整数时，
．

在区间
上为单调函数．

只需
，且
，……………………………9分

即
，且
，

所以
.……………………12分

由已知a为正整数，得
.……………………13分

19．解：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率
，

因为
,得
．

所以椭圆的方程为
．……………………4分

（Ⅱ）设直线
的方程为
.

由方程组
得
．（1）

………………6分

因为方程（1）有两个不等的实数根，所以
．

所以
，得
.…………7分

设
,
，则
，
.（2）

因为以线段
为直径的圆经过坐标原点，

所以
,
,即有
. ……………9分

所以
，

所以
（3）

将（2）代入（3）得
，

所以
，

解得
． ……………………13分

满足

所求直线
的方程为
． ……………………14分

20．解：（Ⅰ）由已知得
； ……………………3分

（Ⅱ）因为
，所以在
上为单调递增函数.

所以在区间

.

，

即
．

所以
是方程

即方程
有两个相异的解，

这等价于
， ……………………6分

解得
为所求． ……………………8分

（Ⅲ）

因为
当且仅当
时等号成立，

因为
恒成立，
，

所以
为所求． ……………………13分