闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷（一模）

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．

2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．

1．已知
，其中
是虚数单位，那么实数
．

【答案】

因为
，所以
，即
且
，解得
。

2．已知
的展开式中，
的系数为
，则
．

【答案】2

二项展开式的通项为
，由
得，
，即
，因为
的系数为80，所以
，即
。

3．设
是公比为
的等比数列，且
，则
　　 　．

【答案】3

因为
的公比为
，所以
，解得
。

4．设双曲线
的右顶点为
，右焦点为
．过点
且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点
，则
的面积为　　　　．

【答案】

双曲线的右顶点为
，右焦点
，双曲线的渐近线为
，过点
且与
平行的直线为
，则
，即
，由
，解得
，即
，所以
的面积为
.

5．函数
则
的值为　　　　．

【答案】

。

6．一人在海面某处测得某山顶
的仰角为

，在海面上向山顶的方向行进
米后，测得山顶
的仰角为
，则该山的高度为 米．（结果化简）

【答案】

由题意知
，且
，则
。由正弦定理得
，即
，即
，所以山高
。

7．已知点
在抛物线
上，那么点
到点
的距离与点
到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点
的坐标为　　　　．

【答案】

抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
。
，过点P做准线的垂线PE，则
，所以
,当且仅当
三点共线时，最小，此时
,所以
，即
.

8．甲、乙、丙
人安排在周一至周五的
天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有　　 　种．

【答案】20

从5天中任选3天有
种，其中先安排甲，然后在任意安排，乙、丙有
，所以不同的安排方法有
种。

9．（文）若实常数
，则不等式
的解集为 ．

【答案】

因为
，
得
，解得
，即不等式的解集为
。

10．（文）设函数
则方程
有实数解的个数为　 　 ．

【答案】2

当
时，由
得，
，即
，在坐标系中，做出函数
的图象，由图象可知，当
时，有一个交点。当
时，由
得
，即
，解得
，此时有一解，，所以总共有2个交点，即方程
的实数解的个数为2.

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

11．（文）圆
与直线
没有公共点的充要条件是 【 】

A．
B．

C．
D．

【答案】C

因为直线和圆没有公共点，则有圆心到直线的距离
，即
，解得
，即
，选C.

12．已知向量
，
满足：
，且
（
）．则向量
与向量
的夹角的最大值为 【 】

A．
B．
C．
D．

【答案】B

由
得，
，即
，所以
，即
，因为
，所以
，所以
，
，即向量
与向量
的夹角的最大值为
，选B.

13．以下四个命题中，真命题的个数为 【 】

①集合
的真子集的个数为
；

②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；

③设
，若
，则
且
；

④设无穷数列
的前
项和为
，若
是等差数列，则
一定是常数列．

A．
B．
C．
D．

【答案】B

①正确。②错误。③当
时，满足
，但
且
，所以错误。④错误。若
为等差数列，设
，n=1时，
，
时，
，所以若
，则
为常数列。若
,则
不是常数列，它从第2项开始为常数，但第1项不等于第2项。选B.

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

14．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

已知函数
，
．

（1）请指出函数
的奇偶性，并给予证明；

（2）当
时，求
的取值范围．

15．

（文）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图，某农业研究所要在一个矩形试验田
内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为
平方米．

（1）设试验田
的面积为
，
，求函数
的解析式；

（2）求试验田
占地面积的最小值．

16．（文）（本题满分15分，第1小题满分9分，第2小题满分6分）

设定义域为
的奇函数
在区间
上是减函数．

（1）求证：函数
在区间
上是单调减函数；

（2）试构造一个满足上述题意且在
内不是单调递减的函数．（不必证明）

17．（文）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）

设点
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上任意一点．

（1）求数量积
的取值范围；

（2）设过点
且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求点
横坐标的取值范围．

18．（文）（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若数列
满足：对于
，都有
（常数），则称数列
是公差为
的准等差数列．如：若
则
是公差为
的准等差数列．

（1）求上述准等差数列
的第
项
、第
项
以及前
项的和
；

（2）设数列
满足：
，对于
，都有
．求证：
为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列
的前
项和为
，若
，求
的取值范围．

闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷答案

一、1．
； 2．2； 3．3； 4．
； 5．
； 6．
；

7．
； 8．20； 9．
； 10．（文）2．

二、11．C． 12．B． 13．B．

三、14．解：
（3分）

（1）
，
是非奇非偶函数． （3分）

注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如
，
不是奇函数．

（2）由
，得
，
． （4分）

所以
．即
． （2分）

15．解：设
的长与宽分别为
和
，则

（3分）

（2分）

试验田
的面积

（2分）

令
，
，则
， （4分）

当且仅当
时，
，即
，此时，
． （2分）

答: 试验田
的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. （1分）

16．（文）解（1）任取
，
，则由
（2分）

由
在区间
上是单调递减函数，有
， （3分）

又由
是奇函数，有
，即
． （3分）

所以，函数
在区间
上是单调递减函数． （1分）

（2）如
或
等 （6分）

17．（文）解：（1）由题意，可求得
，
． （1分）

设
，则有
，
（3分）

（2分）

所以，
． （1分）

（2）设直线
的方程为
， （1分）

代入