东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合
，
，
，则
等于

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

因为
，所以
，选B.

（2）复数
等于

（A）
(B)
( C)
( D)

【答案】D

，选D.

（3）已知
为等差数列，其前
项和为
，若
，
，则公差
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

因为
，
，所以
，解得
，所使用
，解得
，选C.

（4）执行如图所示的程序框图，输出的
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

第一次循环得
；第二次循环得
；第三次循环得
，第四次循环得
，但此时
,不满足条件，输出
，所以选A.

（5）“
成立”是“
成立”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B

由
得
或
。所以“
成立”是“
成立”的必要不充分条件，选B.

（6）已知
，
满足不等式组
则目标函数
的最大值为

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

做出可行域，由
得
，平移直线

，由图象可知当直线
经过点D时，直线
的的截距最大，此时最大，由题意知
，代入直线
得
，所以最大值为12，选B.

（7）已知抛物线
的焦点
到其准线的距离是
，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则
的面积为

（A）32 （B）16 （C）8 （D）4

【答案】A

由题意知
，所以抛物线方程为
，焦点
,准线方程
，即
,设
,
过A做
垂直于准线于M,由抛物线的定义可知
,所以
,即
,所以
，整理得
，即
，所以
，所以
,选A.

（8）给出下列命题：①在区间
上，函数
,
,
,
中有三个是增函数；②若
，则
；③若函数
是奇函数，则
的图象关于点
对称；④若函数
，则方程
有
个实数根，其中正确命题的个数为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

①在区间
上,只有
，
是增函数，所以①错误。②由
，可得
，即
，所以
，所以②正确。③正确。④
得
，令
，在同一坐标系下做出两个函数的图象，如图
，由图象可知。函数有两个交点，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若向量
，
满足
，
，且
，
的夹角为
，则
，
．

【答案】

，
，所以
。

（10）若
，且
,则
　 ．

【答案】

因为
，
所以
为第三象限，所以
，即
。

（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

【答案】

由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，
，底面梯形的上底为4，下底为5，腰
,所以梯形的面积为
，所以该几何体的体积为
。

（12）已知圆
：
，则圆心
的坐标为 ；若直线
与圆
相切，且切点在第四象限，则
．

【答案】

圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
，半径为1.要使直线
与圆
相切，且切点在第四象限，所以有
。圆心到直线
的距离为
，即
，所以
。

（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价
,第二次提价
；方案乙：每次都提价
，若
，则提价多的方案是 .

【答案】乙

设原价为1，则提价后的价格:方案甲：
,乙：
，因为
，因为
，所以
，即
，所以提价多的方案是乙。

（14）定义映射
，其中
，
，已知对所有的有序正整数对
满足下述条件:

①
，②若
，
；③

则
；
.

【答案】

根据定义得
。
，
，
，所以根据归纳推理可知
。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

已知
为等比数列，其前
项和为
，且

.

（Ⅰ）求
的值及数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

（17）（本小题共13分）

如图，在菱形
中，
⊥平面
，且四边形
是平行四边形．

（Ⅰ）求证：
⊥
；

（Ⅱ）当点
在
的什么位置时，使得
平面
，并加以证明.

（18）（本小题共13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在区间
上是减函数，求
的取值范围.

（19）（本小题共14分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上且过点
，离心率是
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
过点
且与椭圆
交于
，
两点，若
，求直线
的方程.

（20）（本小题共14分）

已知实数组成的数组
满足条件：

①
； ②
.

(Ⅰ) 当
时，求
，
的值；

（Ⅱ）当
时，求证：
；

（Ⅲ）设
,且

，

求证：
.

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）D （3）C （4）A

（5）B （6）B （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）

（10）
（11）

（12）

（13）乙 （14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）

.…………………………………………………4分

所以
．……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）因为
，

所以
．

所以
．………………………………………………………10分

当
时，函数
的最小值是
，

当
时，函数
的最大值是
．…………………………………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）当
时，
.……………………………………1分

当
时，
.……………………………………………3分

因为
是等比数列，

所以
，即
.
.…………………………………5分

所以数列
的通项公式为

.…………