松江区2012学年度第一学期高三期末考试

数学（文科）试卷（一模）

（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1

一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．
▲ ．

【答案】

.

2．已知集合
,
，若
，则
▲ ．

【答案】4

因为
，所以
或
。若
，则
,
，满足
。若
，则
,
，不满足
，所以
。

3．若行列式
则
▲ ．

【答案】2

由
得
，即
，所以
。

4．若函数
的图像与
的图像关于直线
对称，则
＝ ▲ ．

【答案】1

因为函数
的图像与
的图像关于直线
对称，所以由
，即
，所以
，所以
。

5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ▲ ．

【答案】20

设样本中松树苗的数量为
，则有
，解得
。

6．己知
，
，且
，则
▲ ．

【答案】

因为
，所以
，即
，所以
。

7．抛物线的焦点为椭圆
的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．

【答案】

由椭圆方程可知
，所以
，即
，所以椭圆的右焦点为
，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以
，所以
。所以抛物线的方程为
。

8．已知
，则
的最小值为 ▲ ．

【答案】2

由
得
且
，即
。所以
，所以
的最小值为2.

9．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ▲ ．

【答案】

等比数列的通项公式为
，由
，所以
为偶数，即
为奇数，所以
，解得
，即
，所以
共有8个，所以从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是
。

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是
，若
，且
，则△ABC的面积等于 ▲ ．

【答案】

由
得
，所以
，所以
，所以
。

11．若二项式
展开式中
项的系数是7，则
= ▲ ．

【答案】

二项展开式的通项为
，令
得，
，所以
，所以
的系数为
，所以
。所以
。

12．给出四个函数：①
，②
，③
，④
，其中满足条件：对任意实数
及任意正数
，都有
及
的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）

【答案】③

由
得
，所以函数为奇函数。对任意实数
及任意正数
由
可知，函数
为增函数。①为奇函数，但在
上不单调。②为偶函数。，③满足条件。④为奇函数，但在在
上不单调。所以满足条件的函数的序号为③。

13．在平面直角坐标系中，定义
为
,
两点之间的“折线距离”．则原点
与直线
上一点
的“折线距离”的最小值是 ▲ ．

【答案】

设
,直线
与坐标轴的交点坐标为
，直线的斜率为
。过P做
于
,则原点
与直线
上一点
的“折线距离”为
,因为
为等腰三角形，所以
,由图象可知
，此时
在
的内部，所以原点
与直线
上一点
的“折线距离”的最小距离为
。

14.某同学对函数
进行研究后，得出以下结论：

①函数
的图像是轴对称图形；

②对任意实数
，
均成立；

③函数
的图像与直线
有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；

④当常数
满足
时，函数
的图像与直线
有且仅有一个公共点.

其中所有正确结论的序号是 ▲ ．

【答案】①②④

①
，所以函数
是偶函数，所以关于
轴对称，所以①正确。②
，所以②正确。③由
，得
或
，所以
,所以任意相邻两点的距离不一定相等，所以③错误。④由
，即
，因为
，所以
，所以必有
，所以函数
的图像与直线
有且仅有一个公共点，所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．过点
且与直线
平行的直线方程是

A．
　　 B．
　　 　

C．
　 D．

【答案】D

设所求的平行直线方程为
，因为直线过点
，所以
，即
，所以所求直线方程为
，选D.

16．对于原命题：“已知
，若
，则
”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为

A．0个　　 B．1个　　 C．2个　 D．4个

【答案】C

当
时，
不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知
，若
，则
”，所以逆命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2个，选C.

17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入
的值，输出相应的
值．若要使输入的
值与输出的
值相等，则这样的
值有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

若
，则
，由
，得
或
。若
，则
，由
，得
。若
，则
，由
，解得
（舍去）。所以满足输出值和输入值相同的
有3个，选C.

18．设
是定义在R上的偶函数，对任意
，都有
且当
时，
．若在区间
内关于
的方程
恰有3个不同的实数根，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

【答案】D

由
得
，所以函数
的周期是4，又函数为偶函数，所以
，即函数关于
对称。且
。由
得
，令

，做出函数
的图象如图，由图象可知，要使方程
恰有3个不同的实数根，则有
，即
，所以
，即
，解得
，所以选D.

三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

已知
，
，其中
.设函数
，求
的最小正周期、最大值和最小值．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知
，且满足
．

（1）求
；

（2）若
，
，求证：
．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度
（单位：千克/年）是养殖密度
（单位：尾/立方米）的函数．当
不超过4（尾/立方米）时，
的值为
（千克/年）；当
时，
是
的一次函数；当
达到
（尾/立方米）时，因缺氧等原因，
的值为
（千克/年）．

（1）当
时，求函数
的表达式；

（2）当养殖密度
为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）
可以达到最大，并求出最大值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

对于双曲线

，定义

为其伴随曲线，记双曲线
的左、右顶点为
、
.

（1）当
时，记双曲线
的半焦距为
，其伴随椭圆
的半焦距为
，若
，求双曲线
的渐近线方程；

（2）若双曲线
的方程为
，过点
且与
的伴随曲线相切的直线
交曲线
于
、
两点，求
的面积（
为坐标原点）

（3）若双曲线
的方程为
，弦

轴，记直线
与直线
的交点为
，求动点