山东省烟台市

2013届高三3月诊断性测试

数学（文）试题

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．已知集合A=
则（CRA）
B=

A．
B．
C．
D．

【答案】B

，所以
,选B.

2．已知i是虚数单位，复数
在复平面上的对应点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

，在复平面上的对应点为
，为第四象限，选D.

3．已知函数f(x)=
，则f[f（2013）]=

A．
B．-
C．1 D． -1

【答案】D

，所以
，选D.

4．设曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=

A．2 B．-2 C．
D．-

【答案】B

函数的导数为
，所以函数在
的切线斜率为
，直线ax+y+3=0的斜率为
，所以
，解得
，选B.

5．已知命题p:若（x－1）（x－2）≠0，则x≠1且x≠2;命题q:存在实数xo，使2
<0．下列选项中为真命题的是

A．
p B．
p ∨q C．
p ∧p D．q

【答案】C

命题
为真，
为假命题，所以
p ∧p为真，选C.

6．设
是正实数，函数f（x）=2cos
在x∈
上是减函数，那么
的值可以是

A．
B．2 C．3 D．4

【答案】A

因为函数在
上递增，所以要使函数f（x）=2cos
在区间
上单调递减，则有
，即
，所以
，解得
，所以
的值可以是
，选A.

7．已知实数x，y满足不等式组
，则2x+y的最大值是

A．0 B．3 C．4 D．5

【答案】C

设
得
，作出不等式对应的区域
，平移直线
，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，由
，解得
，即B(1，2)，带入
得
，选C.

8．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

X

2

4

5

6

8



y

20

40

60

70

80



 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为
，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为

A．210 B．210．5 C．211．5 D．212．5

【答案】C

由数据中可知
，代入直线得
。所以
，当
时，
，选C.

9．已知抛物线y2 =2px（p>0）上一点M（1，m）（m>0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为

A．（x－1）2+（y－4）2=1 B．（x－1）2+（y+4）2=1

C．（x－l）2+（y－4）2 =16 D．（x－1）2+（y+4）2=16

【答案】A

抛物线的焦点为
，准线方程为
，所以
，解得
，即抛物线为
，又
，所以
，即
，所以半径为1，所以圆的方程为
，选A.

10．函数f（x）=1nx－
的图像大致是

【答案】B

函数的定义域为
，函数的导数微微
，由
得，
，即增区间为
。由
得，
，即减区间为
，所以当
时，函数取得极大值，且
，所以选B.

11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．
B．

C．
D．

【答案】A

由三视图可知该三棱锥的侧棱和底面垂直，三棱锥的高为1，底面直角三角形的两直角边分别为2,1，所以三棱锥的体积为
，选A.

12．已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+
）上的三个函数：①
；②
③f（x）=
，则为“保比差数列函数”的是

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】C

设数列的公比为
。若
为等差，则
，即
为等比数列。①若
，则
，所以
，为等比数列，所以①是“保比差数列函数”。②若
，则
不是常数，所以②不是“保比差数列函数”。③若
，则
，为等比数列，所以是“保比差数列函数”，所以选C.

二、填空题，本大题共有4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的相应位置。

13．已知向量a=（x－l，2），b=（4，y），若a⊥b，则
的最小值为 。

【答案】6

因为
，所以
，即
，所以
，所以
的最小值为6.

14．执行右边的程序框图，则输出的结果为 。

【答案】65

第一次循环，
；第二次循环，
；

第三次循环，
；

第四次循环，
，此时不满足条件，输出
.

15．已知双曲线
=1的一个焦点是（0，2），椭圆
的焦距等于4，则n=

【答案】5

因为双曲线的焦点为（0，2），所以焦点在
轴，所以双曲线的方程为
，即
，解得
，所以椭圆方程为
，且
，椭圆的焦距为
，即
，所以
，解得
。

16．函数f（x）=cosx －log8x的零点个数为 。

【答案】3

由
得
，设
，作出函数
的图象，由图象可知，函数的零点个数为3个。

三、解答题，本大题共6个小题，共74分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=
sin2x－cos 2x－
，x∈R。

（1）求函数f（x）的最小值，及取最小值时x的值；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=
，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值。

18．（本小题满分12分）

某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m,n的值；

（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？

（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率。

19．（本小题满分12分）

如图所示，ABCD是边长为a的正方形，△PBA是以角B为直角的等腰三角形，H为BD上一点，且 AH⊥平面PDB。

（1）求证：平面ABCD⊥平面APB；

（2）点G为AP的中点，求证：AH=BG。

20．（本小题满分12分）

设{an}是正数组成的数列，a1=3。若点
在函数
的导函数
图像上。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设
，是否存在最小的正数M，使得对任意n
都有b1+b2+…+bn＜M成立？请说明理由。

21．（本小题满分13分）

设函数f（x）=m（x
）－21nx，g（x）=
（m是实数，e是自然对数的底数）。

（1）当m=2e时，求f（x）+g（x）的单调区间；

（2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求m的值。

22．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
的右顶点为A（2，0），离心率为
，O为坐标原点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E， D求
的取值范围。