2013届高三模拟考试数学试卷 2013.6

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1．已知全集
R，集合
≤0}∪
＞2}，则

A = ▲ ．

2．若复数
满足
（
是虚数单位），则其共轭复数
=_ ▲ ．

3．下面求
的值的伪代码中，正整数
的最大值为 ▲ ．

4．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图上右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为___▲___ 辆.

5．一只口袋有形状，大小都相同的５只小球，其中２只白球，３只红球。从中一次随机摸出２只球，则２只球不同色的概率是　　　▲　　　。

6．如图，
为边长为a的正方体，
分

别是
的中点，过
作正方体截面，若截面平

行于平面
，则截面的面积为 ▲ ．

7．在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“
”是“
为钝角三角形”的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）

8．函数
的定义域为 ▲ ．

9．已知曲线

恒过定点
且
成等差数列，

▲ ．

10．已知圆C：
，点
是直线l：
上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得
，则
的取值范围是 ▲ ．

11．已知函数
,若函数
有两个不同的零点，则
的取值范围为___▲ ___.

12．在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不

在直线2mx＋(1－m2)y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形面积

的最大值为 ▲ ．

13．设函数
的定义域为
，如果
，使
（
为常数）成立，则称函数
在
上的均值为
，已知四个函数：①
；②
；③
；④
，上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 ▲

14．设实数
，满足
，则
的取值范围是 ▲

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分）设函数
a
b，向量a =
，

b =
，其中角
的顶点与坐标原点重合,始边与
轴非负半轴重合,终边经过点
,且0≤
≤
.

(1)若点
的坐标为
,求
的值；

(2)若点
为平面区域
上的一个动点，试确定
的取值范围，并求

16．（本题满分14分）如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB=
EF．

（1）求证：BF∥平面ACE；

（2）求证：BF⊥BD．

17．（本题满分14分）交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10
的公共汽车行驶的专用车道，据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前，后亮亮公共汽车间的安全距离
（
）与车速
（
）之间满足二次函数关系
，现已知车速为15
时，安全距离为8
，车速为45
时，安全距离为38
；出现堵车状况时，两车安全距离为2

（1）试确定
关于
的函数关系式
；

（2）车速
（
）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？

18．（本题满分16分）设椭圆方程

，离心率为
，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点
满足
，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为
，求证：
为定值．

19．（本题满分16分）已知数列
中，
，
，
为正整数．

（1）证明：数列
为等比数列；

（2）设
，
，若数列
的前
项之和
，并求使
的
的最小值．

20．(本小题满分16分) 已知函数
,
.

（1）若函数
在其定义域内是单调增函数，求实数
的取值范围；

（2）若函数
的图象被点
分成的两部分为
（点
除外）,该函数图象在点
处的切线为
，求证：当
时，
分别完全位于直线
的两侧.

（3）试确定
的取值范围,使得曲线
上存在唯一的点
，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点
．

加 试 题

考试时间30分钟；满分40分

21．（本题共2小题；每题10分，共20分）

B．（选修4--2：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：

a

b

c

d

…

z



1

2

3

4

…

26





如果已发现发送方传出的密码矩阵为
，双方约定人可逆矩阵为
，

试破解发送的英文字母密码．

C．（选修4--4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为

(
为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：
（其中
为常数）．

（1）求曲线M的普通方程；

（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求
的取值范围．

22．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D-AP-C的余弦值为
，求PF的长度．

23．（本小题满分10分）设
是定义在R上的函数，

（1）若
，求g(x)；

（2）若
，求g(x)．

2013届高三模拟考试数学试卷答案 2013.6

一、填空题：

1．答案：
2．答案：-i 3．答案：2015 4．答案：20；

5．答案：
，由A{-1,0,1,2}得A的个数为
，其中单元集有4个；

6．答案：
，截面与侧面
相交于EF，E、F分别是
的中点，

7．答案：必要不充分，由
得∠C=
，故
为钝角三角形，反之，

为钝角三角形不只有

8．答案：

9．答案：6，曲线恒过定点
，由
成等差数列，所以

10．答案：
，因OAPB是棱形，故AB垂直平分OP，则当
时，
不存在，这时
当
时，
，且直线AB过点
，

直线AB方程为
，圆心到直线AB的距离
，

即
，且
，化为
，

11.答案：
或
；

由图象可得
或

12．答案：
；利用
≥
，

得
，
，

13．答案：-4令
，
，
，
，再令
，
，则
是偶函数，先考虑（0,3]，利用二分法解决，关键是（0,
]上的交点个数的判定，
＜0，
，
，在（0,
]上有两个交点，在（
，3]上有2个交点，共有4个，在
上有8个交点，其和为零，故答案是-4

14．答案：
；依题意由
，
，使
，设
，则有
，
，所以
，令
，则
由
，求得
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，于是
．

二、解答题：

15．解: (1) 由
且0≤
≤
得
；-------------------------------2分

a
b =

-------------- 6分

(2) 如图，作出平面区域

由图形可得
------------8分

因为
所以

故
的最小值
;
的最大值
----------14分

16．（1）证明：设AC与BD的交于O，连结EO，

在正方形ABCD中，
BO=AB，∵AB=
EF，∴BO=EF，-----2分

又∵EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，----------------------------------4分

∵BF∥EO，BF
平面ACE，EO
平面ACE

∴BF∥平面ACE ---------------------------------------------------------7分

（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，

BD
平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE=AC，

∴BD⊥平面ACE， ---------------------------------------------------10分

∵EO
平面ACE

∴BD⊥EO， -------------------------------------------------------------12分

∵EO∥BF，

∴BF⊥BD -------------------------------------------------------------14分

17．解(1)不妨设
，依题意
,

且

由
，
---------------------------------3分

若三条道路建设的费用相同，

则

所以，
，所以，
，-------------------------------------5分

由两倍角的正切公式得，

即
---------------------------------------------6分

答：该文化中心建在离N村的距离为
km；------------------------7分

(2)总费用
，
，

即
---------------------------------------------------9分

，得
，------------------------11分

当
时
，当
时
，

所以，当
时，有最小值，

这时，
，
-----------------------13分

答：该文化中心建在离N村的距离为
km．-------------------14分

（本题可建立直角坐标系用解析法来解决）

17．（备用题）分析：（1）
--4分

（2）
-------------------------------8分

（3）分层抽样的比例为2：5：3：7：3，现共抽取20人，在
，

在
．共有10种可能结果．列举为：

---------------------------------------12分

满足条件的结果有：