双语中学2013届高三最后压轴卷数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．集合
，集合
，若集合
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

2.复数
在映射
下的象为
,则
的原象为

A．
B.
C．
D.

5. 下列命题中是假命题的是

A.
,
B．
,

C．
,
D．
,

6．已知A、B、C是圆
和三点，
，

A．
B．
C．
D．

7.设奇函数
的定义域为Ｒ，最小正周期
，若
，则
的取值范围是

A．
　 B．
C．
　　 D．

8．已知A、B为抛物线
上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若
则直线AB的斜率为

A．
B．
C．
D．

9. 要测量顶部不能到达的电视塔AB的高度, 在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°, CD=40m, 则电视塔的高度为

A．10
m B．20m C．20
m D．40m

10. 已知函数
，给出下列四个命题：

①若
②
的最小正周期是
；

③
在区间
上是增函数； ④
的图象关于直线
对称；

⑤当
时，
的值域为
其中正确的命题为

A．①②④ B．③④⑤ C．②③ D．③④

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.若双曲线
的离心率是
，则实数
的值是

12．若变量x、y满足
，若
的最大值为
，

则

13.直三棱柱ABC—A1B1C1各顶点在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°则球的表面积为___________.

14. 给出下面的程序框图，则输出的结果为_________.

15. 若任意
则
就称
是“和谐”集合。则在集合
的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知向量

，函数
，且
图象上一个最高点的坐标为
，与之相邻的一个最低点的坐标为
.

（1）求
的解析式；

（2）在△ABC中，
是角A、B、C所对的边，且满足
，求角B的大

小以及
的取值范围.

17．（本小题满分12分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

,
,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD
平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（Ⅰ）求证：DC
平面ABC；

（Ⅱ）设
，求三棱锥A－BFE的体积．

18.. （本小题满分13分）

某种产品的广告费支出
与销售额
(单位：万元）之间有如下对应数据:

2

4

5

6

8





30

40

60

50

70





（Ⅰ）求回归直线方程；

（Ⅱ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？

（Ⅲ）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率。

（参考数据：


，

参考公式：回归直线方程
，其中
）

19. （本小题满分12分）

设函数

.

(1) 试问函数f(x)能否在x=
时取得极值？说明理由；

(2) 若a=
，当x∈［
,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围.

20. （本小题满分13分）

已知等差数列
满足
，若对任意的
，数列
满足
依次成等比数列，且
=4.

(Ⅰ)求

(Ⅱ)设
，证明：对任意的
，

数学答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11、
12、
13、
14、
15、

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：（1）

. --------------------------------------2分

图象上一个最高点的坐标为
，与之相邻的一个最低点的坐标为
.

，
，于是
. ---------------5分

所以
. ---------------------------------6分

17．（本题满分12分）

（Ⅰ）证明：在图甲中∵
且
∴
,

即

在图乙中，∵平面ABD
平面BDC ， 且平面ABD
平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又
，∴DC⊥BC,且

∴DC
平面ABC．

（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC
平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，

18．（本题满分13分）

（Ⅰ）解：
，

又已知
，

于是可得：
，

因此，所求回归直线方程为：

19（本小题满分12分）

解：（1） 由题意f′(x)=x2-2ax-a，

假设在x= -1时f(x)取得极值，则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，

而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.

这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.

（2） 设f(x)=g(x)，则有
x3-x2-3x-c=0，∴c=
x3-x2-3x,

设F(x)=
x3-x2-3x,G(x)=c，令F′(x)=x2-2x-3=0,解得x1=-1或x=3.

列表如下：

x

-3

(-3,-1)

-1

(-1,3)

3

(3,4)

4



F′(x)



+

0

-

0

+





F(x)

-9

增



减

-9

增


-





由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.

当x=-1时，F(x)取得极大值
；当x=3时，F(x)取得极小值

F(-3)=F(3)=-9，而
.

如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，

所以
或c=

20．（本小题满分13分）

解：

21.（本小题满分13分）

解　(1) 设动点为
，

依据题意，有
，化简得
．

因此，动点P所在曲线C的方程是：
． ……………4分

(3)依据(2)可算出
，
，

，

．

所以，
即为所求． 13分