启东中学2013届高三高考考前辅导数学试题

填空题

《统计问题》

1．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a= ，b= 。

2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间
的人做问卷
,编号落入区间
的人做问卷
,其余的人做问卷
.则抽到的人中,做问卷
的人数为____.

《概率问题》

1．在区间
和
分别取一个数,记为
, 则方程
表示焦点在
轴上且离心率小于
的椭圆的概率为 ．

2．在圆
=4所围成的区域内随机取一个整点P(x,y)（横，纵坐标都是整数点），则满足
的整点的概率为 .

《三角问题》

1．在
中，D为BC的中点，∠BAD=
,∠CAD=
AB=
,则AD= .

2．已知sin(
=
(
则cos
.

3．若
.

4．在
中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则
= .

5．若角 C是一三角形内角，关于x的不等式
的解集为
，则角C的最大角为 .

6．已知
的内角
的对边
成等比数列，则
的取值范围为 。

《立几问题》

1．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，则三棱锥S-AED的体积 .

2．设
为两个不重合的平面，
为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：

（1）若
，则
；

（2）若
与
相交且不垂直，则
与
不垂直

（3）若
则

（4）若
则
其中，所有真命题的序号是 ．

《切线问题》

1．已知f(x)=
过A(1,m)可作曲线的三条切线，则m的取值范围是 .

2．已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0，
并且与曲线y=f(x)相切，则直线l与圆
截得的弦长为 .

3．从点
（0，0）作
轴的垂线交曲线y=
于点
(0,1)，曲线在
点处的切线与
轴交于点
，现从
作
轴的垂线交曲线于点
，依次重复上述过程得到一系列点：
则
.

《平面向量的数量积》

1．已知BC,DE是半径为1的圆O的两条直径，
,则
的值是 .

2．设O是
外心，AB=1,AC=2且
则
面积为

3．已知
中，
，
为
的外心，若点
在
所在的平面上，

，且
，则边
上的高
的最大值为 ．

4．在
中，若
，则
面积的取值范围为 .

5．在等腰三角形ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD=DB=EF=1,AC=BC=
则
的取值范围为 。

《圆锥曲线离心率问题》

1．已知点P是双曲线
右支上一点，
分别是双曲线的左右焦点，I为
内心，若
，则双曲线的离心率为 。

2．已知椭圆
的两个焦点
，P是以
为直径的圆与椭圆的一个交点，且
，则离心率为 .

3．已知双曲线的中心在坐标原点
，A,C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则
的余弦值 。

4. 已知椭圆
的两个焦点
，若椭圆上存在一点P使
，则该椭圆的离心率的取直范围是 。

《直线与圆问题》

1．在

。

2．在平面直角坐标系中，曲线
上到直线y=x+b距离等于的点共3个，则b的取直范围是 。

3．已知圆C：
，点
是直线l：
上的动点，若在圆上总存在不同的两点A，B使得
，则
的取值范围是 。

若不全为零的实数
成等差数列，点
在动直线
上的射影为
，点
，则线段
长度的最小值是________．

5．如果直线
和函数
+1(
的图像恒过同一定点，且该定点始终落在圆
=
的内部或圆上，那么
的取值范围是 .

6．在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不在直线2mx＋(1－m2)y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为 ．

《数列问题》

1.已知数列
的前项和分别为
且
记
则数列
的前100项和为 .

2．数列{an}满足
=1，
记
若
对任意
恒成立，则正整数m的最小值是 .

3．设数列
满足
=2,
若
表示不超过x的最大整数，则
= .

4．各项均为正数的等比数列{an}中，若

的取值范围是 。

5．已知函数
是定义在
上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差数列，
，则
的值________0(填“>”、“<”之一)．

4．设f(x)是定义R在上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上，
其中
若f(
,则a+3b的值为 .

5．若实数a,b,c,d满足
=1,则
的最小值为 .

6．已知xy－z＝0，且0＜＜，则的最大值为__________．

7．若关于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为 ．

8．已知函数
在定义域
上是单调函数,若对任意
，都有
,

则不等式
的解集为 .

9．已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是__________.

10．设
其中
，则
的最小值为 .

11．设
,
是正实数，函数
,
．若存在
，使

成立，则
的取值范围为 ．

解答题

《三角向量与平面向量》

1．如图所示,已知
的终边所在直线上的一点
的坐标为
,
的终边在第一象限且与

单位圆的交点
的纵坐标为
.

⑴求
的值； ⑵若
,
,求
.

2. 已知向量
，
，
．

（1）若
与向量
共线，求
的值；

（2）若实数a、b，角
，使得
对任意
恒成立，求
的值．

3．设△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a(b＝b(c＝－2，b与c－b的夹角为150(．

（1）求∣b∣；

（2）求△ABC的面积．

《立体几何》

1．在四棱锥
中,
平面
,
是正三角形,
与
的交点
恰好

是
中点,又
,
,点
在线段
上,且
.

（1）求证:
;

（2）求证:
平面
;

（3）设平面

平面
=
,试问直线
是否与直线
平行,请说明理由.

2. 如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面，且PA=AB=AC=
．

（1）求证：PA∥平面QBC；

（2）若AQ⊥平面PBC，求多面体PQABC的体积．

《应用题》

1．如图,某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处，才能使|AB|最短？并求其最短距离．

2．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记∠EFA ＝ α,α为锐角．

（1）用α表示AF的长；

（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S

关于α的函数关系S(α)；

（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，

应如何设计α的大小？

3．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c＝1200元(与产品数量无关)．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．(1)若开机生产时间为m天，停机销售时间为n天，最后一天卖出a个产品，写出m，n，a的关系，并写出a的取值范围；(2)若停机销售的最后一天卖出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于流水线启动和存储的费用最少？

4．在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.

（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?

（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层，

①共有几种不同的方案?

②已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

《解析几何》

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为
，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在轴x上方，直线AB与AC分别交直线x=a+1点E,F。

（1）若点B(
，求
的面积。

（2）若B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为
①试探究：
是否为定值？若为定值，请求出。若不为定值，说明理由；②求
的面积的最小值。

2．已知
椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，点P为椭圆C上任意一点，且
.以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点
满足
，试问椭圆上是否存在定点
及以
为圆心的一个圆，使得该圆与直线
都相切，如存在，求出
点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

《函数与导数》

1．对于函数y＝f(x)，若存在x＝x0，使f(x0)＝x0，则称实数x0是函数y＝f(x)的一个不动点．

（1）设f(x)＝aln(1＋x)(a
R)恰有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；

（2）g(x)＝x2＋x＋3，证明：函数y＝g(g(x))没有不动点；

*（3）若定义在R上的函数h(x)有且只有一个不动点x0，且满足：h(h(x)－x3－x)＝h(x)－x3－x，求函数h(x)的解析式．

2．已知函数

（I）已知

若
求
的取值范围；

（II）若方程
恰好有两个不同的根，求
的解析式；

（III）对于（II）中的函数
，对任意
，求证：
．

3．已知函数

（1）若
，且
在
上恒成立，求
的取值范围；

（2）若
，关于
的不等式
有非零实数解，求
的最大值；

（3）记函数
，且函数的定义域为
（
），

若
，求
的最小值。

4．已知函数
,其中
．

(1)若
,试判断函数
的单调性,并证明你的结论;

(2)设函数
若对于任意大于等于2的实数
,总存在唯一的小于2的实数
,使得
成立,试确定实数
的取值范围．

《数列问题》

1．已知数列{an}满足
，
(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，
为数列{an}的前
项和． (1) 若
，求
的值；(2) 求数列{an}的通项公式
；

(3) 当
时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

2．已知直角
的三边长
，满足

（1）在
之间插入2011个数，使这2013个数构成以
为首项的等差数列
，且它们的和为
，求c的最小值.

（2）已知
均为正整数，且
成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
，求
（
）.

（3）已知