双语中学2013届高三最后压轴卷数学（理）试题

注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不予记分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

１.在复平面内复数
，
对应的点分别为
，若复数
对应的点
为线段
的中点，则
的值为（　　）

A. 61 　　 B．13 　 C．20 D．

2．已知
，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（　　）

A．11个 　 　　B．12个 　 C．15个 　 D．16个3．设
，则
的值为( )

A.
B .
C.
D.

4．等差数列
的前
项和为
的值（　　）

A．18 　　　　 B．20 　　　　　 C．21 　　　　　D．22

9． 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为
，且
与
轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）

A．
　　　　Ｂ．
　　　　Ｃ．
　　　　Ｄ．

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．曲线
（
为参数）上一点
到点
、
距离之和为________________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =
，

(1) 求角C的大小；

（2）求△ABC的面积.

17．（本小题满分12分）

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等

品通过检测的概率为
．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．

（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为
，求
的分布列；w。w-w*k&s%5￥u

（3）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．

18. （本小题满分13分）

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，

并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为
时，求PC与

底面ABCD所成角的正切值．

19. （本小题满分13分）

已知函数
.

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求函数
的单调区间；

（2）若对于
都有
成立，试求
的取值范围；

（3）记
.当
时，函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C:
的长轴长为
，离心率
．

Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

Ⅱ）若过点B（2，0）的直线
（斜率不等于零）与椭圆C交

于不同的两点E，F（E在B，F之间），且
OBE与
OBF的面积之比为
，求直线
的方

程．

21. （本小题满分13分）

已知
，且方程
有两个不同的正根，其中一根是另一根的
倍，记等差数列
、
的前
项和分别为
，
且
（
）。

（1）若
，求
的最大值；

（2）若
，数列
的公差为3，试问在数列
与
中是否存在相等的项，若存在，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列
的通项公式；若不存在，请说明理由．

（3）若
，数列
的公差为3，且
，
.

试证明：
.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

B

C

B

A

B

D

B

C

B





第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11、8 12、6 13、5 14、1 15、0

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

17．（本题满分12分）

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为
.

事件
等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”

(Ⅱ) 由题可知
可能取值为0，1，2，3.

,
,

,
.

0

1

2

3

















(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为
，

事件
等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”

所以，
.

18．（本题满分13分）

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 ………10分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
…………12分

方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

则
，而

，取z=1，得
，

同理可得平面PBC的一个法向量

设
所成的角为0，

则

即

…………10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
…………12分

19（本小题满分13分）

解: (I) 直线
的斜率为1.函数
的定义域为
，
，所以
，所以
. 所以
.
.由
解得
；由
解得
.

所以
的单调增区间是
,单调减区间是
.

(II)
，由
解得
；由
解得
.

所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.

所以当
时，函数
取得最小值，
.

因为对于
都有
成立，所以
即可.

则
. 由
解得
. 所以
的范围是
.

20．（本小题满分12分）

解：（I）椭圆C的方程为
，由已知得

解得
∴所求椭圆的方程为
.

(II)由题意知
的斜率存在且不为零，

设
方程为
①，将①代入
，整理得

，由
得

21.（本小题满分13分）

解：（1）
，
，

故
的最大值为
。

（2）由（1）知
，
可得
，

令
，
可得：
矛盾

所以在数列
与
中不存在相等的项。

（3）证明：∵
∴要证

即要证
（直接用数学归纳法证明不出）