康杰中学2013年高考模拟试题（八）

数学（文）

2013.6.1

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的
）

1．设集合
，则满足
的集合
的个数是（ ）

A．1 B．3 C．4 D．8

2．如果复数(m2+i)(1+mi)是实数，则实数
( )

A．1 B．-1 C．
D．-

3．右面的程序框图5，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A．c > x B．x > c C． c > b D．
b > c

4．设
为等差数列
的前
项和，若
，公差
，
，则
( )

A．8 B．7 C．6 D．5

5．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )

A．372 B．360 C．292 D．280

6．已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
，

则双曲线的离心率为（ ）

A．
　　　B．
　　　　C．
　　D．2

7．设
则不等式
的解集

为（ ）

A．(1，2)∪(3，+∞) B．(
，+∞)

C．(1，2)∪(
，+∞) D．(1，2)

8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中

点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-
DCE的外接球的体积为( )

[来源:Zxxk.Com]

（第8题图）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数f(x)=asinx-bcosx (a、b为常数，a≠0,x∈R)在x=
处取得最小值，则函数y=f(
-x)是( )

A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称

B．偶函数且它的图象关于点(
，0)对称

C．奇函数且它的图象关于点(
，0)对称

D．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称

10．已知非零向量
与
满足
且
则

为（ ）

A．等边三角形　　　　　　　　　 B．直角三角形

C．等腰非等边三角形　　　　　　 D．三边均不相等的三角形

11．等比数列
中，
，
=4，函数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12．设
是定义在
上的
奇函数，且当
时，
，若对任意的

，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共４小题，每小题5分，共20分）

13．设不等式组
，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

14．已知变量
，
满足约束条件
。若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则

的取值范围为

15．设
，函数
有最大值，则不等式
的解集为

16．半径为r的圆的面积
,周长
，若将
看作（0，+∞）上的变量，则
①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作（0，+
）上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________②

②式可用语言叙述为___________________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤）[来源:学科网]

17．（本小题满分12分）

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用
文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

18．（本小题满分12分）

某兴趣小组欲
研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料：

日 期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日



昼夜温差x(°C)

10

11

13

12

8

6



就诊人数y(个)

22

25

29

26

16

12



该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求

线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)

(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x

的线性回归方程
；(6分)

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2

人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理

想?(3分)

（参考公式：

)

19．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱
中
，

已知
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设

是
上一点，试确定
的位置，使
平面
，并说明理由．

20．（本小题共l2分）

过点C(0，1)的椭圆
的离心率为
，椭圆与x轴交于两点
、
，过点C的直线
与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．[来源:学#科#网Z#X#X#K]

（I）当直线
过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（II）当点P异于点B时，求证：
为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）设
，证明：对任意
，
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．选修4
1:几何证明选讲

如图,⊙O和⊙
相交于
两点,过A作两

圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明

(Ⅰ)
;

(Ⅱ)
.

23．选修4
4：坐标系与参数方程选讲[来源:学.科.网Z.X.X.K]

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos（
）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（I）写出C的直角
坐标方程，并求M,N的极坐标；

（II）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

24．选修4
5：不等式选讲

已知正数a、b、c满足
，求证：

数学模拟试题八(文数)答案

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

A

D

B

A

C

C

D

A

C

A



二、填空题

13.
14.
15. （2，3） 16.

，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

、解答题

17．解：方案1：

①需要测量的数据有：

的之间距离

点到
的俯角

点到
的俯角

②第一步：计算
，由正弦定理，

第二步：计算
，由正弦定理，

第三步：计算
，由余弦定理，

方案2：①需要测量的数据有：
的之间距离

点到
的俯角

点到
的俯角

②第一步：计算
，由正弦定理，

第二步：计算
，由正弦定理，

第三步： 计算
，由余弦定理，

18.解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A．因为从6组数据中选

取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 …………(2分)

其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ………………(3分)

所以
………………(5分)

(Ⅱ)由数据求得

由公式求得
………………(7分)

再由

所以关于的线性回归方程为
……………………(10分)

(Ⅲ)当
时,
,
；

同样, 当
时,
,
……(12分)

所以,该小组所得线性回归方程是理想的．

19．(Ⅰ)证明：在直四棱
柱
中，连结
，
，
四边形
是正方形．
．

又
，
，

平面
，又

平面
，

．
平面
，

平面
，又
平面
，

．............6分

（2）连结
，连结
，

设
，

，连结
，

平面
平面
，

要使
平面
，

须使
， 又
是
的中点．

是
的中点．

又易知
，
．

即
是
的中点．

综上所述，当
是
的中点时，

可使
平面
．……12分

20.（Ⅰ）由已知得
，解得
，所以椭圆方程为
．…2分

椭圆的右焦点为
，此时直线
的方程为
，代入椭圆方程得
，解得
，代入直线
的方程得
，所以

，故
．………………6分

（Ⅱ）当直线
与
轴垂直时与题意不符．

设直线
的方程为
．代入椭圆方程得
．

解得
，代入直线
的方程得
，

所以D点的坐标为
．.....9分

又直线AC的方程为
，又直线BD的方程为
，联立得
因此
，又
．所以
．

故
为定值．………………12分

21.解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+
)，
………2分

当a≥0时，
＞0，故f(x)在(0,+
)单调增加；

当a≤－1时，
＜0, 故f(x)在(0,+
)单调减少；

当－1＜a＜0时，令
＝0,解得x=
.当x∈(0,
)时,
＞0；

x∈(
，+
)时，
＜0, 故f(x)在（0,
）单调增加，在（
，+
）单调减少…………6分

(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+
）单调减少.

所以
等价于
≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. ……………………9分

令g(x)=f(x)+4x,则
+4＝
.

于是
≤
＝
≤0.

从而g(x)在（0，+
）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，

故对任意x1,x2∈(0,+
) ，
.………………12分

23．解（Ⅰ）由

，从而C的直角坐标方程为

…………5分

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为

所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
………………10分

24．证明：要证

只需证
………………3分

即只要证
………………5分
两边都是非负数， [来源:学科网]

这就是已知条件，且以上各步都可逆，

………………10分