康杰中学2013年高考模拟（八）

数学（理）

2013.6.1

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，若
，则
的值为（ ）

A．0 B．1 C．
D．

[来源:学+科+网]

2．如果复数
的模为4，则实数
的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

3．若命题“
R，使得
”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．若直线
：
被圆C：
截得的弦最短，则直线
的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．右图是函数

在

区间
上的图象．为了得到这个函数的图象，

只需将
的图象上所有的点（ ）

A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标

缩短到原来的
倍，纵坐标不变

B．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

D．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

6．已知数列
为等比数列，
，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．二项式
的展开式中常数项是（ ）

A．28 B．-7 C．7 D．-28

8．已知AD是ΔABC的中线，若∠A=120°，
，则
的最小值是 ( )

A．1 B．2 C．
D．

9．一个几何体
的三视图如
右图所示，则它的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大
值是3的取法有（ ）

A．12种 B．15种 C．17种 D．19种

11．已知双曲线
右支上的一点
到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为
，则双曲线的离心率为（ ） A.
B.
C.
D.

12．定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时
，
，若函数
在
上至多三个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置．）

13．若实数
、
满足
，且
的最小值为
，则实数
的值为__

14．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是

15．半径为r的圆的面积
,周长

，若将
看作（0，+∞）上的变量，

则
①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的

周长函数。对于半径为

R的球，若将R看作（0，+
）上的变量，请你写出类似于①的式子

_______________②；②式可用语言叙述为________________。

16．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是
，若S、A、B、C都在同一球
面上，则该球的表面积是
。

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本题满分12分）

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin
x(A>0,
>0) x
[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2
)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定
MNP=120

（I）求A ,
的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

18．（本小题满分12分）

如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）

（I）求证：AE//平面DCF；

（II）当AB的长为

，求二面角A-EF-C的大小。

19．（本小题满分12分）

某次月考数学第Ⅰ卷共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：[来源:Zxxk.Com]

（I）得40分的概率；

（II）得多少分的可能性最大？

（III）所得分数
的数学期望．

20．（本小题共12分）

已知椭圆
的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，

O为坐标原点，且
是等腰直角三角形．

（I）求椭圆的方程；

（II）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为
证明：直线AB过定点
．

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）讨论函数
的单调性；

（II）设
，证明：对任意
，
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．选修4
1:几何证明选讲

如图,⊙O和⊙
相交于
两点,过A作两

圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)
;

(Ⅱ)
.

23．选修4
4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系曲 线C的极坐标方程为cos（
）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

(I)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

（II）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

24．选修4
5：不等式选讲

已知正数a、b、c满足
，求证：

2013年高考模拟八理科数学参考答案

一、选择题

ACADA DCABD AB

二、填空题

13.
14.
15.
，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 16.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

解法一：（I）依题意，有
，
，又
，
。

当
时，

又

………………5分

（II）在△MNP中
∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN=
，则0°<
<60°

由正弦定理得

,

故

…10分

0°<
<60°，
当
=30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长…………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得
∠MNP=
，

即

故

从而
，即
，当且仅当
时，折线段道MNP最长

18．（本小题满分12分
）

（I）过点E 作EG⊥CF交CF于G，连结DG，可得四边

形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以AD平行

且等于EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故

AE∥DG，………………4分

因为AE
平面DC
F，DG
平面DCF，

所以AE∥平面DCF。………………6分

（II）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，

连结AH，BH，

由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，

得AB平面BEFC，从而AHEF，

所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，

在Rt△EFG中，因为EG=AD=
，

∴∠GFE=60°，FG=1，

又因为∠GEF=90°，所以CF=4，从而BE=CG=3，

于是 BH=BE·
.……………………10分

在
中，
则tan∠AHB=
,

因为
，

因为所以∠AHB=60°，所以二面角A-EF-C的大小为60°…………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为
，有一道做对的概率为
，有一道做对的概率为
，所以得40分的概率为
．………………4分

（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为

得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为

得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为

得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为

得40分是指做对8题，，所以概率为

所以得30分的可能性最大．……………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得
的分布列为：

25

30

35

40










[来源:Z&xx&k.Com]





………………10分

所以
．…………………12分

20.（本小题共12分）

解：（I）由△
是等腰直角
三角形，得b=2，
，

故椭圆方程为
．………………4分

（II）若直线
的斜率存在，设
方程为
，依题意
．

设
，
，

由
得
． … …6分http://www. .com/

则
． 由已知
，

所以
，即
．……8分

所以
，整理得
．

故直线
的方程为
，即
（
）
．

所以直线
过定点（
）． ………………10分

若直线
的斜率不存在，设
方程为
，

设
，
，由已知
，

得
．此时
方程为
，显然过点（
）．

综上，直http://www. .com/线
过定点（
）． …………12分

21.（满分12分）

解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+
)，
……2分

当a≥0时，
＞0，故f(x)在(0,+
)单调增加；

当a≤－1时，
＜0, 故f(x)在(0,+
)单调减少；

当－1＜a＜0时，令
＝0,解得x=

.当x∈(0,
)时,
＞0；x∈(
，+
)时，
＜0, 故f(
x)在（0,
）单调增加，在（
，+
）单调减少…………6分

(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+
）单调减少.

所以
等价于
≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. ……………………9分

令g(x)=f(x)+4x,则
+4＝
.

于是
≤
＝
≤0.

从而g(x)在（0，+
）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+
) ，

.………12分

23．解（Ⅰ）由

，从而C的直角坐标方程为

…………5分

（Ⅱ）M点
的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为

所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
………………10分

24．证明：要证

只需证
………………3分

即只要证
………………5分
两边都是非负数，

这就是已知条件，且以上各步都可逆，

………………10分

[来源:学§科§网]