玉溪一中高2013届第三次校统测文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）

A．1 B．i C．– 1 D．– i

2．设全集
，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

3. 巳知角a的终边与单位圆交于点
，则sin2a的值为( )

A.
B.－
C. －
D.

4. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)

如图所示，则该几何体的侧面积为( )cm2。

A．80 B．12 C．48 D．20

5.已知向量
、
的夹角为
，且
，那么
的值为（ ）

A．48 B．32 C．1 D．0

6.已知各项均为正数的等比数列
中，
，
，则
=（ ）

A．512 B．64 C．1 D．

7.已知函数
的图像关于直线
对称则最小正实数
的值为( )

A.
B.
C.
D.

8. 某林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，

都会对树苗进行检测。现从甲、乙两种树苗中各

抽取10株，测量其高度，所得数据如茎叶图所示，

则下列描述正确的是（ ）

A.甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲树苗比乙树苗长得整齐

B.甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙树苗比甲树苗长得整齐

C.乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲树苗比乙树苗长得整齐

D.乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙树苗比甲树苗长得整齐

9.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。若要使输入的x值

与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )

A. 1个 B. 3个 C.2 个 D. 4个

10．已知正数x,y满足
，则
的最小值为( )

A．1 B．
C．
D．

11．已知F是双曲线
的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ΔABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )

A．(1，+∞) B．(1,2) C．(1,1+
) D．(2,1+
)

12. 设方程
的两个根为
、
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13. 函数f（x）= x + （x＞1）的最小值为

14．在区域M={(x,y)|
}内撒一粒豆子，落在区域N={(x,y)|x2+(y-2)2≤2}内的概率为__________.

15．P为抛物线
上任意一点，P在
轴上的射影为Q，点M（4,5）.则PQ与PM长度之和的最小值为 ．

16.数列
的首项为1，数列
为等比数列且
，若
，

.

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17（本小题满分12分）

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知
，
，于A处测得水深
，于B处测得水深
，于C处测得水深
，求∠DEF的余弦值。

18.（本小题满分12分）

某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调查，以本班的50人为对象进行了

问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合 计



男生



5





女生

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有
%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知不喜爱打篮球的5位男生中，
喜欢踢足球，
喜欢打乒乓球，现再从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学进行其他方面的调查，求
和
至少有一个被选中的概率．

附：

19.（本小题满分12分）

如图,三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。

(Ⅰ)求证：A1B∥平面AMC1；

(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；

20（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，动点
到两点
，
的距离之和等于
，设

的轨迹为曲线
，直线
过点
且与 曲线
交于
，
两点．

（Ⅰ）求曲线
的轨迹方程；

（Ⅱ）是否存在△
面积的最大值，若存在，求出△
的面积；否则，说明理由.

21（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数
，对任意的
，且
，有
恒成立，若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．

选考题（本小题满分10分）

请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡第Ⅰ卷选择题区域内把所选的题号涂黑. 注意：所做题目必须与所涂题号一致. 如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
、
在圆
上，
、
的延长线交直线
于点
、
，
．求证：

（Ⅰ）直线
是圆
的切线；

（Ⅱ）
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆
的圆心
，半径
.

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆
于
两点，求弦长
的取值范围.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）解不等式
；（Ⅱ）若函数
的解集为
，求实数
的取值范围.

玉溪一中高2013届第三次校统测试题

文科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

B

C

A

D

C

A

C

B

C

B

D



二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13

14

15

16



3





1024



三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17) 解：

作
交BE于N，交CF于M．

，

，

．　．．．．．．6分

在
中，由余弦定理，

. ．．．．．．12分

18.（1）

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合 计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



................4分

（2）

故没有
%的把握认为喜爱打篮球与性别有关…………..8分

（3）设“
和
至少一个被选中”为事件A

从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学的结果有：

,共6种

其中
和
至少一个被选中的结果有：

所以
………….12分

19. 解：（Ⅰ）连接
交
于
,连接
.

在三角形
中，
是三角形
的中位线，

所以
∥
,

又因
平面
，
平面

所以
∥平面
. ……………5分

（Ⅱ）（法一）设直线
与平面
所成角为
，

点到平面
的距离为

，不妨设
，则
，

因为
,
，

所以
. ……………8分

因为
，

所以
,
.

.

，
，
. ……………12分

（法二）如图以
所在的直线为
轴, 以
所在

的直线为
轴, 以
所在的直线为
轴，以
的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则
,
,
,
，
,
,
.设直线
与平面
所成角为
，平面
的法向量为
.则有
,
,
，

令
,得
，

∴
. ……………12分

20.解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点
的轨迹C是以
，
为焦点，长半轴长为
的椭圆．……………………………………………………………………………2分

故曲线
的方程为
． …………………………………………………4分

（Ⅱ）存在△
面积的最大值. …………………………………………………5分

因为直线
过点
，可设直线
的方程为
或
（舍）．

则

整理得
．…………………………………6分

由
．

设
．

解得
，
．

则
．

因为

． ………………………9分

设
，
，
．

则
在区间
上为增函数．

所以
．

所以
，当且仅当
时取等号，即
．

所以
的最大值为
．………………………………………………………………12分

21.（1）解：

（1）当
时，由
得
或
，由
得
；

（2）当
时，
恒成立；

（3）当
时，由
得
或
，由
得
；

综上，当
时，
在
和
上单调递增；在
上单调递减；

当
时，
在
上单调递增；

当
时，
在
和
上单调递增；在
上单调递减。

………………………6分

（2）∵
，∴
，

令

要使
，只要
在
上为增函数，即
在
上恒成立，因此
，即

故存在实数
，对任意的
，且
，有
恒成立…………………12分

23．解：（Ⅰ）【法一】∵
的直角坐标为
，

∴圆
的直角坐标方程为
.

化为极坐标方程是
.

【法二】设圆
上任意一点
，则

如图可得，
.

化简得
.．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）将
代入圆
的直角坐标方程
，

得

即

有
.

故
，

∵
，

∴
，

即弦长
的取值范围是
.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

24．解：（Ⅰ）

， 即解集为
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）

如图，
，

故依题知，

即实数
的取值范围为
.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分