2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（理工农医类）

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题

1．已知复数
的共轭复数
（i为虚数单位），则
在复平面内对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】
的共轭复数
，则
，对应点的坐标为
，故答案为D．

2．已知集合
,
,则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

，或3．因此是充分不必要条件．

3．双曲线
的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
的顶点坐标为
，渐近线为
，即
．带入点到直线距离公式
=
．

4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）

A．588 B．480 C．450 D．120

【答案】B

【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道

故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．

5．满足
，且关于x的方程
有实数解的有序数对
的个数为（ ）

A．14 B．13 C．12 D．10

【答案】B

【解析】方程
有实数解，分析讨论

①当
时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时
可以取4个值．故有4种有序数对

②当
时，需要
，即
．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．

共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．

6．阅读如图所示的程序框图，若输入的
，则该算法的功能是（ ）

A．计算数列
的前10项和 B．计算数列
的前9项和

C．计算数列
的前10项和 D．计算数列
的前9项和

【答案】C

【解析】第一循环：
，
第二条：
第三条：

…．．第九循环：
．第十循环：
，输出S．

根据选项，
，故为数列
的前10项和．故答案A．

7．在四边形ABCD中，
，
，则四边形的面积为（ ）

A．
B．
C．5 D．10

【答案】C

【解析】由题意，容易得到
．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和

即S=
．容易算出
，则算出S=5．故答案C

8．设函数
的定义域为R，
是
的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A．
B．
是
的极小值点

C．
是
的极小值点 D．
是
的极小值点

【答案】D

【解析】A．
，错误．
是
的极大值点，并不是最大值点．

B．
是
的极小值点．错误．
相当于
关于y轴的对称图像，故
应是
的极大值点

C．
是
的极小值点．错误．
相当于
关于x轴的对称图像，故
应是
的极小值点．跟
没有关系．

D．
是
的极小值点．正确．
相当于
先关于y轴的对象，再关于x轴的对称图像．故D正确

9．已知等比数列
的公比为q，记

则以下结论一定正确的是（ ）

A．数列
为等差数列，公差为
B．数列
为等比数列，公比为

C．数列
为等比数列，公比为
D．数列
为等比数列，公比为

【答案】C

【解析】等比数列
的公比为q,


,



数列
为等比数列，
故选C

10．设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数
满足：
对任意
当
时，恒有
，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】D

【解析】根据题意可知，令
，则A选项正确；

令
，则B选项正确；

令
，则C选项正确；故答案为D．

二．填空题

11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“
”发生的概率为________

【答案】

【解析】

产生0~1之间的均匀随机数

12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________

【答案】

【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，

13．如图
中，已知点D在BC边上，AD
AC，
则
的长为_______________

【答案】

【解析】

根据余弦定理可得

14．椭圆
的左．右焦点分别为
，焦距为2c，若直线
与椭圆
的一个交点M满足
，则该椭圆的离心率等于__________

【答案】

【解析】由直线方程

直线与x轴的夹角
，且过点




即


由椭圆的第一定义可得

15．当
时，有如下表达式:

两边同时积分得：

从而得到如下等式：

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

【答案】

【解析】由

两边同时积分得：

从而得到如下等式：

三．解答题

16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为
，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为
，求
的概率；

（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？

本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能

力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．

解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为
，小红中奖的概率为
，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分
”的事件为A，则A事件的对立事件为“
”，

，

这两人的累计得分
的概率为
．

（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为
，都选择方案乙抽奖中奖的次数为
，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为
，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为

由已知：
，

，