玉溪一中高2013届第三次校统测理科数学

一、选择题

1．复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）

A．1 B．i C．– 1 D．– i

2．设全集
，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

3. 巳知角a的终边与单位圆交于点
，则sin2a的值为( )

A.
B.－
C. －
D.

4.
的展开式中，常数项等于（ ）

A. 15 B. 10 C.
D.

5．已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=
,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为( )

A．e2+e B．
C．e2-e D．

6. 已知命题
，命题
，则( 　 )

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

7．设
是空间两条直线，
，
是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ 　）

A．当

时，“

”是“
∥
”成立的充要条件

B．当
时，“

”是“
”的充分不必要条件

C．当
时，“

”是“
”的必要不充分条件

D．当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

8.函数
的图象大致为( )

A. B. C. D.

9.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的 y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )

A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个

10．已知正数x,y满足
，

则
的最小值为( )

A．1 B．
C．
D．

11.已知F是双曲线
的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ΔABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )

A．(1，+∞) B．(1,2) C．(1,1+
) D．(2,1+
)

12.若定义在R上的函数
的导函数是
，则函数
的单调递减区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题

13. 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，
，9的9个小正 方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，

且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，

则符合条件的涂法共有 种。

14．把一个半径为
的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为_________.

15．P为抛物线
上任意一点，P在
轴上的射影为Q，点

M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为 ．

16．数列
的首项为1，数列
为等比数列且
，若
，

则
.

三．解答题

17.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三 点进行测量，已知
，
，于A处测得水深
，于B处测得水深
，于C处测得水深
，求∠DEF的余弦值。

18. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．

(1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；

(3)求比赛局数的分布列．

19．如图,三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。

(Ⅰ)求证：A1B∥平面AMC1；

(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问：在棱A1B1上是否存在点N，使AN与MC1成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。

20. 在平面直角坐标系
中，动点
到两点
，
的距离之和等于
，设

的轨迹为曲线
，直线
过点
且与 曲线
交于
，
两点．

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）是否存在△
面积的最大值，若存在，求出△
的面积；否则，说明理由.

21、已知函数
，
．

（Ⅰ）若
恒成立，求实数
的值；

（Ⅱ）设
（

）有两个极值点
、
（


），求实数
的取值范围，并证明
．

选考题（本小题满分10分）

请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡第Ⅰ卷选择题区域内把所选的题号涂黑. 注意：所做题目必须与所涂题号一致. 如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
、
在圆
上，
、
的延长线交直线
于点
、
，
．求证：

（Ⅰ）直线
是圆
的切线；

（Ⅱ）
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆
的圆心
，半径
.

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆
于
两点，求弦长
的取值范围.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若函数
的解集为
，求实数
的取值范围.

玉溪一中高2013届第三次校统测试题

理科数学答案

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

B

C

A

D

C

C

C

C

C

B

C



二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13

14

15

16



108





1024



三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 解：作
交BE于N，交CF于M．

，

，

．　．．．．．．6分

在
中，由余弦定理，

. ．．．．．．12分

18、解：（1）众数为4.6和4.7；中位数为4.75 ;

（2）设
表示所取3人中有
（
的值为0,1）个人是“健康视力”，至多有1人是“健康视力”记为事件
，则

（3）由题意知，
的可能取值为0,1,2,3，

，
，

，

0

1

2

3
















的分布列为：

19. 解：（Ⅰ）连接
交
于
,连接
.

在三角形
中，
是三角形
的中位线，

所以
∥
,

又因
平面
，
平面

所以
∥平面
. ……………4分

（Ⅱ）（法一）设直线
与平面
所成角为
，

点到平面
的距离为

，不妨设
，则
，

因为
,
，

所以
. ……………5分

因为
，

所以
,
.

.

，
，
. ……………8分

（法二）如图以
所在的直线为
轴, 以
所在

的直线为
轴, 以
所在的直线为
轴，以
的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则
,
,
,
，
,
,
.设直线
与平面
所成角为
，平面
的法向量为
.则有
,
,
，

令
,得
，

∴
. ……………8分

（Ⅲ）假设直线
上存在点
，使
与
成角为
.

设
，则
，
.

，

或
（舍去），

故
.所以在棱
上存在棱
的中点
，使
与
成角
. ········ 12分

20. 解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点
的轨迹C是以
，
为焦点，长半轴长为
的椭圆．……………………………………………………………………………2分

故曲线
的方程为
． …………………………………………………4分

（Ⅱ）存在△
面积的最大值. …………………………………………………5分

因为直线
过点
，可设直线
的方程为
或
（舍）．

则

整理得
．…………………………………6分

由
．

设
．

解得
，
．

则
．

因为

． ………………………9分

设
，
，
．

则
在区间
上为增函数．

所以
．

所以
，当且仅当
时取等号，即
．

所以
的最大值为
．………………………………………………………………12分

21、解：（Ⅰ）令
，则
． …………………1分

所以
即
恒成立的必要条件是
，………………2分

又
， ……………………………………………………3分

解得
． ……………………………………………………………4分

当
时，
，知
，故
即
恒成立． ………………………………………………6分（Ⅱ）由

，得

． …………………………………………7分

有两个极值点
、
等价于方程
在
上有两个不等的正根，即

， 解得
． ………………………………9分

方法一：由
，得
，其中
．

所以
．　　　……………………………10分

设
，得
，所以
，即
． ………………12分

方法二：由
，得
，又
，

所以
．　　　　………………10分

设
，得
，所以


，即
． 　　………………12分

23．解：（Ⅰ）【法一】∵
的直角坐标为
，

∴圆
的直角坐标方程为
.

化为极坐标方程是
.

【法二】设圆
上任意一点
，则

如图可得，
.

化简得
.．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）将
代入圆
的直角坐标方程
，

得

即

有
.

故
，

∵