一、选择题（本大题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的答案的题号填在答题卡上相应的位置上。）

1．设
为虚数单位，则复数
等于

A．
B．
C．
D．

2.设集合
,则“
”是“
”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充要条件

C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．
B．
C．
D．

4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为( 　　)

[来源:Zxxk.Com]

5．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为
右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）

7 9

8 6 3 8

9 3 9 8 8
4 1
5

10 3
1

11 4

A．
B
．
C．
D．

6.已知圆
，点
是圆
内一点，过点
的圆
的最短弦所在的直

线为
，直线
的方程为
，那么

A．
，且
与圆
相离 B．
，且
与圆
相切

C．
，且
与圆
相交 D．
，且
与圆
相离

7.已知△ABC为等边三角形，
，设点P，Q满足
，
，
，若
，则
( )[来源:学+科+网][来源:学科网]

A．
　 B．

　　 　C．
　　 　D．

8.若函数
在区间
的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是

　 A.
　 B.

C.
　 D.

二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9.在极坐
标系中，过点错误！未找到引用源。的直
线错误！未找到引用源。与极轴的夹角错误！未找到引用源。，若将错误！未找到引用源。的极坐标方程写成错误！未
找到引用源。的形式，则错误！未找到引用源。 .

10.如图，圆
的割线
交圆
于
、
两点，割线
经过圆心. 若
，则圆
的半径等于______.

11.对于实数
，
若
，
，则
的最大值为

必做题（12～16题）

12．函数
的单调增区间是

13.设
、
是椭圆
的两个焦点，点
在椭圆上，且满足
，则
的面积等于 ．

14.若
，则
.

15. 已知
满足约束条件
，且
的最小值为6.

（1）常数
;

（2）若实数
则点
落在上述区域内的概率为 .(用最简分数表示)

16．已知数集
。若数集A满足：对任意的

，
与
两数中至少有一个属于
.称数集A具有性质

（1）给定两个数集
,则具有性质
的数集为 ；(填
或
)

（2）对所有具有性质
的数集
，
的取值集合为

三．解答题（本大题共6小题，共75分）:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤

17.(本小题12分)小王参加一次比赛，比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题. 如果每关两个问
题都答对，可进入下一关，第三关有三
个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功. 每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
，且每个问题回答正确与否相互独立.

求小王过第一关但未过第二关的概率;

(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望.

18. (本小题12分)如图，在四棱锥
中，平面
平面
，

且
，
．四边形
满足
，

，
．点
分别为侧棱
上的点，

且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
时，求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在实数
，使得平面
平面
？若存在，

试求出
的值；若不存在，请说明理由．

19. (本小题12分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区
的固定投食点
到两条平行河岸线
的距离分别为4m、8m，河岸线
与该养殖区的最近点
的距离为1m，
与该养殖区的最近点
的距离为2m．

（1）如图甲，养殖区在投食点
的右侧，若该小组测得
，设
与
所成夹角为
，求
的值并请据此算出养殖区的面积；

（2）如图乙，养殖区在投食点
的两侧，试在该小组未测得
的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．

20. (本小题13分)已知数列
的前
项和为
,数列
是首项为
，公差为
的等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，对任意的正整数
，将集合

中的三个

元素排成一个递增的等差数列，其公差为
，求证：数列
为等比数列；

21. (本小题13分)
是抛物线
上除顶点外的任意一点,过
的直线
与抛物线在
处的切线
互相垂直.

（1）设
,
与
轴的交点分别为
,求证:线段
的中点是一个定点.

（2）设
,
与过抛物线
的焦点
的任意直线
分别交于点
,

其中
求证:
成等差数列.

22. (本小题13分)已知函数
(
为自然对数的底数)

(1)当
时,求
的单调区间；

(2)若函数
在
上无零点,求
的最小值；

(3)若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
，

使得
成立,求
的取值范围。[来源:学科网ZXXK]

衡阳市八中2013届高三第十次教学质量检测

数学（理科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

D

D

D

A

A

C





三．解答题（本大题共6小题，共75分）:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤

17.解：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为
，[来源:Z§xx§k.Com]

则
……………………4

∴X的概率分布列为

X

0

1000

3000

6000



P











∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160………………..12

18.证明：（Ⅰ）由已知，
，

所以
．

因为
，所以
．

而
平面
，
平面
，

所以
平面
． ……………………………………………………4分

（Ⅱ）因为平面
平面
，

平面
平面
，且
，

所以
平面
.

所以
，
．

又因为
，

所以
两两垂直． ……………………………………………………5分

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为
，
，

所以

．

当
时，
为
中点，

所以
,

所以
．

设异面直线
与
所成的角为
，

所以
，

所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．…………………………………9分

（Ⅲ）设
，则
．[来源:Zxxk.Com]

由已知
，所以
，

所以
所以
．

令
，则
．

若平面
平面
，则
，所以
，解得
．

所以当
时，平面
平面
．…………………………………………12

19.（1）如图甲，则
与
所成夹角为
，

对菱形
的边长“算两次”得

，………………………………………2分

解得
，………………………………
……………4分

所以，养殖区的面积

； ………………6分

（2）如图乙，设
与
所成夹角为
，
，则
与
所成夹角为
，

对菱形
的边长“算两次”得

，……………………………………8
分

解得

，…………………………………………………9分

所以，养殖区的面积

，

由
得

，

经检验得，当
时，养殖区的面积
．

答：（1）养殖区的面积为
；（2）养殖区的最小面积为
．…………12分

21.解:由题意可知在P处的切线斜率存在.设切线

则可知其与
轴的交点为
,

而
,故
与
轴的交点为

联立切线与抛物线得:

令
,可解得:
,而

的中点的横坐标为:

的中点恒为定点:

22.解：（I）当
……1分

由
由

故
……3分

（II）因为
上恒成立不可能，

故要使函数
上无零点，只要对任意的
恒成立，

即对
恒成立。 ……4分

令

则
……5分